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,欢迎进入数学课堂,2.3.3直线与平面垂直的性质,1.了解垂线段斜线段及直线和平面所成的角的概念,会进行直线和平面所成的角的计算.2.经过观察探索和转化的办法理解直线与平面的性质定理.3.会运用判定定理和性质定理解题.,1.过一点和已知平面垂直的直线_.2.过一点和一条直线垂直的平面_.3.垂直于同一平面的两条直线_.4.垂直于同一直线的两个平面相互平行.,有且只有一条,有且只有一个,相互平行,1.直线垂直平面的性质(数学符号表示)2.证明两条直线平行的方法(数学符号表示).,(3),题型一线线平行问题例1:已知:a,b.求证:ab.分析:已知条件涉及利用垂直证明两线平行问题,需将两条直线转化到同一平面上,直接证明比较困难,可考虑先作出符合要求的图形.,证明:如右图,设b=O,过O作ba.ab,a.b.又b,这样过点O有两条直线bb与垂直,则必有bb重合.因此ba.,规律技巧:本例若采用直接法证明两直线平行较为困难,故先作出符合要求的图形,然后证明所作图形与已知图形重合,这种证明方法称为同一法.这是直线与平面垂直的性质定理.,变式训练1:已知直线lm,平面,l,m,则直线l与m的位置关系式是()A.相交B.异面C.平行D.不确定解析:l,l,又m,lm.答案:C,题型二线线垂直问题例2:如下图,在四面体ABCD中,若ABCD,ADBC,求证:ACBD.分析:要证线线垂直,可先证线面垂直,进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直.,证明:过A作AO平面BCD,垂足为O,则AOCD.ABCD,AOAB=A,CD平面ABO.BO平面ABO,CDBO.同理BCDO.则O为BCD的垂心,COBD.,AOBD,COAO=O,BD平面ACO.又AC平面ACO,ACBD.,规律技巧:从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.,变式训练2:如右图,P为ABC所在平面外的一点,且PAPBPC两两垂直,求证:PABC.,证明:PAPB,PAPC,PBPC=P,PA平面PBC.BC平面PBC,PABC.,题型三线面垂直的综合应用例3:如下图,BOC在平面内,OA是的斜线,若AOB=AOC=60,求OA和平面所成的角.,ABC为直角三角形.同理BOC也为直角三角形.过点A作AH垂直平面于H,连结OH,AO=AB=ACOH=BH=CH,规律技巧:在立体几何中存在许多平面图形,在证题时充分运用平面几何知识是解决立体几何问题的重要途径.,变式训练3:AB和平面M所成的角是,AC在平面M内,AC与AB在平面M内的射影AB1所成的角是,设BAC=,求证满足关系式cos=coscos.,证明:如右图,在AB和AC确定的平面内作BDAC,D为垂足,连结B1D.BB1平面M,AC平面M,BB1AC.BB1BD=BAC平面BB1D,ACB1D.在RtADB中,cos=AD:AB.在RtABB1中,cos=AB1:AB.在RtADB1中,cos=AD:AB1.,coscos即cos=coscos.,易错探究,例4:如图,已知六棱锥PABCDEF的底是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PBADB.平面PAB平面PBCC.直线BC平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45,错解:PA平面ABC,BCPA,又BCAB,且PAAB=A,BC平面PAB,又BC在平面PBC内,平面PAB平面PBC.故选B.错因分析:正六边形的性质应用失误,导致空间线面位置关系判断错误.,正解:PA底面ABC,PB在底面上的射影为AB,AB与AD不垂直,排除选项A.由正六边形的性质知BC不垂直AB,BC不垂直平面PAB,而BD平面PAB,但BD不在平面PBC内.故排除选项B.对于选项C,BDAE,BD平面PAE,BC与平面PAC不平行,排除C.对于D选项,PDA为直线PD与平面ABC所成的角,计算知PA=AD=2AB,PDA=45.答案:D,基础强化1.如果直线l与平面不垂直,那么在平面内()A.不存在与l垂直的直线B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条与l垂直的直线D.任意一条都与l垂直答案:C,2.已知平面平面=AB,直线a,b是异面直线,且a,b,MN为a,b的公垂线,则MN与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.平行重合均可能D.平行相交均可能,解析:借助正方体来判定.如图所示.在图(1)中,MNAB,在图(2)中,MN与AB重合,故选C.,答案:C,3.设l,m,n为三条不同的直线,为一个平面,下列命题中正确的个数是()若l,则l与相交;若m,n,lm,ln,则l;若lm,mn,l,则n;若lm,m,n,则ln.A.1B.2C.3D.423,解析:正确,不正确.因此选C.,答案:C,4.圆O的半径为4,PO垂直圆O所在的平面,且PO=3,那么点P到圆上各点的距离是_.解析:依题意知,P到圆O上各点的距离都相等,由勾股定理算得其值为5.,5,5.已知直线abc和平面,给出下列命题:ab与成等角,则ab若,c,则c若ab,a,则b若,a,则a其中错误命题的序号是_.,6.二面角-l-的大小为120,直线AB,直线CD.且ABl,CDl,则AB与CD所成角的大小为_.,解析:由两条直线所成角通常是指两直线的夹角,因此应答60(当ABCD为异面直线时)而不是120.,60,7.如图,ADEF的边AF平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=_.,解析:由AF平面ABCD知,DE面ABCD,DECD,在RtCDE中,答案:,9.如下图,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,EFG分别为CDDA和AC的中点.求证:平面BEF平面BGD.,证明:如右图AB=BC,G为AC的中点,BGAC,同理,DGAC,又DGBG=G,AC平面BGD.又EF分别为CD,DA的中点,EFAC.EF平面BGD又EF平面BEF.平面BEF平面BGD.,10.PA矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN平面PAD.(2)求证:MNCD.(3)若PDA=45,求证:MN平面PDC.,解:如右图,(1)取PD中点Q,连结NQAQ.NQ分别为PCPD的中点.NQAM.AMNQ为平行四边形.AQMN.又AQ平面PAD,MN平面PAD,MN平面PAD.,(2)PA平面ABCD,PAAB.又ADAB,AB平面PAD.ABAQ,即ABMN.又CDAB,MNCD.,(3)PA平面ABCD,PAAD.又PDA=45,Q为PD的中点,AQPD.MNPD.又MNCD,且PDCD=D,MN平面PCD.,11.已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.若,则B.若m,n,则mnC.若m,n,则mnD.若m,m,则答案:B,12.设,是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是()A.若l,则lB.若l,则lC.若l,则lD.若l,则l,答案:C,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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