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,欢迎进入数学课堂,2.2.4平面与平面平行的性质,1.掌握平面与平面平行的性质定理.明确由面面平行可推出线面平行.2.结合具体问题体会空间与平面的转化关系.,1.如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线_.2.如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个也_.3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面_.,平行,相交,平行,1.正确使用线面平行的性质定理与判定定理在使用判定定理和性质定理时,要注意定理中的条件.如使用两平面平行的性质定理容易出现错误:“如果且a,b,那么有ab.”显然这一结论是错误的.必须强调辅助平面,且有=a,=b,那么才有ab成立.再如利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时,最容易忽略掉“平面外一条直线”这一条件.要避免此错误的出现,关键是明确:与平面内直线a平行的直线b和存在这样两种位置关系:b和b,即不仅有平行而且还有在平面内的情况.,2.辅助线辅助面的作法在证线面面面平行的有关问题时,常需要辅助线或辅助面,证题时要特别注意两点:一是所作的辅助线或面需要有理论根据;二是辅助线或辅助面具有什么性质,一定要以某一性质定理为依据决不能随意添加.,3.线面平行问题的转化关系,4.面面平行的性质定理的几个常用结论(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.,题型一证明线面平行例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CD的中点,F为B1C1的中点.求证:EF平面BB1D1D.,分析:如下图所示.要证线面平行,可先证面面平行,取BC的中点H,连结FHEH.易证平面EFH平面BB1D1D.再用两面平行的性质得证.,证明:如上图,取BC的中点H.连结EH,FH.E为CD的中点.EHBD,EH平面BB1D1D.EH平面BB1D1D.又F为B1C1的中点.FB1BH,BHFB1为平行四边形,FHBB1,又FH平面BB1D1D.FH平面BB1D1D.又FHEH=H,平面EFH平面BB1D1D.EF平面BB1D1D.,规律技巧:在证明线面平行时,常用:线线平行,线面平行,面面平行进行相互转化,达到证题的目的.,变式训练1:如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1底面为等腰直角三角形,ABC=90,PQ分别为A1B和CC1的中点,求证:PQ平面A1B1C1.,证法一:如图(1)所示,取A1B1的中点D,连结DPDC1,则有DP.又Q为CC1的中点,DPQC1.四边形PQC1D是平行四边形,PQC1D.又PQ平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,PQ平面A1B1C1.,证法二:如图(2)所示,取BB1的中点E,连结EPEQ,则有PEA1B1,QEB1C1.又PE平面A1B1C1,QE平面A1B1C1,A1B1平面A1B1C1,B1C1平面A1B1C1,PE平面A1B1C1,QE平面A1B1C1.又PE平面PQE,QE平面PQE,PEQE=E,平面PQE平面A1B1C1.又PQ平面PQE,PQ平面A1B1C1.,题型二证明面面平行例2:已知a,b是异面直线,a平面,b平面,a,b,求证:.分析:要证,由判定定理知,在内找出两条相交直线都平行于.由已知,b,b,再找出一条直线a.这需要作辅助平面,使=a,=a,只要aa,就可得,具体如何作出辅助平面,请看证明.,证明:在b上任取一点P,设直线a与点P确定平面为,如上图所示.设=a,a,aa,a.又b,且ab=P,a,b,.,变式训练2:已知:平面平面,平面平面.求证:.证明:如图,作两个相交平面分别与交于ace和bdf.,ac,bd.又,ce,df.ae,bf,又a与b相交,.,题型三综合性问题例3:如下图,在三棱柱ABCA1B1C1中,点DD1分别为ACA1C1上的点.(1)当fracA_1D_1D_1C_1的值等于何值时,BC1平面AB1D1;(2)若平面BC1D平面AB1D1,求fracADDC的值.,题型三综合性问题例3:如下图,在三棱柱ABCA1B1C1中,点DD1分别为ACA1C1上的点.(1)当的值等于何值时,BC1平面AB1D1;(2)若平面BC1D平面AB1D1,求的值.,分析:若BC1平面AB1D1,则平面AB1D1中存在直线与BC1平行,连结A1B交AB1于O,由棱柱的定义知O为A1B的中点,平面A1BC1与平面AB1D1的交线OD1与直线BC1平行,由三角形中位线定理知D1为A1C1的中点,此时若平面BC1D平面AB1D1,易知,解:(1)如题图,取D1为线段A1C1的中点,此时连结A1B交AB1于点O,连结OD1.由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.在A1BC1中,点OD1分别为A1BA1C1的中点,OD1BC1.又OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,BC1平面AB1D1.时,BC1平面AB1D1.,(2)由已知,平面BC1D平面AB1D1.且平面A1BC1平面BDC1=BC1,平面A1BC1平面AB1D1=D1O,因此BC1D1O,同理AD1DC1.,规律技巧:探索平行问题,即找平行成立具备的条件,三种平行关系的相互转化是解决问题常用的方法.,变式训练3:如图,已知,P是平面,外的一点,直线PAB,PCD分别与相交于AB和CD.(1)求证:ACBD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.,(1)证明:PBPD=P,直线PB和PD确定一个平面,则=AC,=BD,又,ACBD.(2)解:由(1)得ACBD,易错探究,例4:已知三个平行平面与两条直线lm分别相交于点ABC和DEF,求证,错解:如图所示,连结ADBECF,.ADBECF.,错因分析:题目中没有明确直线l与m是否共面,应区分共面和异面两种情况解答.错解中把直线lm当做共面直线,直接连结ADBECF,得出ADBECF的错误结论.,正解:当lm共面时,见错解.当lm异面时,如下图所示,连结AF,交平面于M,连结BMMEADCF.,基础强化1.已知直线a平面,则a与平面内的直线的位置关系为()A.相交B.平行C.异面或平行D.异面答案:C,2.已知mn表示两条直线,表示平面,下列命题中正确的个数是()若=m,=n,且mn,则;若mn相交且都在外,m,m,n,n,则;若m,m,则;若m,n,且mn,则.,A.1B.2C.3D.4解析:直线m与n相交,m与n确定一个平面,又m,n,同理,.故正确.其它均错.故选A.答案:A,3.已知平面,P是外一点,过点P的直线m与分别交于AC,过点P的直线n与分别交于BD,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为(),解析:当点P在平面与的同侧时,由平行线截线段成比例知当P在平面与之间时,同理可求得BD=24.,答案:B,4.是三个两两平行的平面,且与之间的距离是3,与之间的距离是4,则与之间的距离的取值范围是()A.1B.7C.1,7D.1.7答案:C,5.已知平面平面,它们之间的距离为d,直线a,则在内与直线a相距为2d的直线有()A.一条B.两条C.无数条D.不存在答案:B,6.给出下列互不相同的直线lmn和平面的三个命题:若l与m为异面直线,l,m,则.若,l,m,则lm.若=l,=m,=n,l,则mn.其中真命题的个数为(),A.3B.2C.1D.0解析:中与也可能相交.错;在中l与m也可能异面,错.正确.答案:C,7.已知直线l平面,设Al,Bl,C,D,且ACBD.则AC_BD(填“=”或“”).8.过正方体ABCDA1B1C1D1的三顶点A1C1B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是_.,=,平行,能力提升,9.如右图,两条异面直线ACDF与三个平行平面分别交于ABC和DEF,又AFCD分别与交于GH,求证:HEGB是平行四边形.,证明:ACCD=C,ACCD确定平面ACD.又,平面ACD与交于ADBH,ADBH.又AFDF=F,AFFD确定平面AFD.又,平面AFD交于ADGE,ADGE.BHGE.同理BGHE.四边形HEGB是平行四边形.,10.如图(1)所示,在空间六边形(即六个顶点中没有任何五点共面)ABCC1D1A1中,每相邻的两边互相垂直,边长均等于a,并且AA1CC1.求证:平面A1BC1平面ACD1.,分析:由本题的条件不难联想到正方体,从而用补形法证之.证明:首先将图形补成正方体框架,如右图(2)所示.则在正方体ABCD-A1B1C1D1中,证平面A1BC1平面ACD1.由正方体的性质易知,ACA1C1.AC平面A1BC1,同理可证CD1平面A1BC1.又ACCD1=C,平面A1BC1平面ACD1.,11.过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条,解析:如图取各棱的中点,易证平面EFGH平面DBB1D1,故平行四边形EFGH的四条边及对角线均为各棱中点的连线均平行于面DBB1D1,共6条,同理在平行四边形JKMN中也有6条满足条件,故共有12条.答案:D,12.如图,在四面体ABCD中,CB=CD,ADBD,且EF分别是ABBD的中点.求证:直线EF面ACD.,证明:在ABD中,EF分别是ABBD的中点,EFAD.又AD平面ACD,EF平面ACD,直线EF面ACD.,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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