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高等数学多媒体课件,制作人：聂水晶,第三章导数和微分,第二节求导法则,两个可导函数之和(差)的导数等这两个函数的导数的和(差)：u(x)v(x)=u(x)v(x)。,两个可导函数乘积的导数等于前一因子的导数乘以后一因子，加上后一因子的导数乘以前一因子：u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)。,两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方：,一、函数的和、差、积、商的求导法则,求导法则的推广：(uvw)=uvw，(uvw)=uvw+uvw+uvw。特殊情况：(Cu)=Cu。,1.函数的和、差、积、商的求导法则：,u(x)v(x)=u(x)v(x)，,u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)，,2.求导举例,例1y=2x3-5x2+3x-7，求y,=6x2-10 x+3。,=23x2-52x+3,=2(x3)-5(x2)+3(x),=(2x3)-(5x2)+(3x)-(7),解：,y=(2x3-5x2+3x-7),例2,解：,例3y=ex(sinx+cosx)，求y。,=2excosx。,解：,y=(ex)(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx),=ex,(sinx+cosx),+ex,(cosx-sinx),例4y=tanx，求y。,即(tanx)=sec2x。,解：,例5y=secx，求y。,即(secx)=secxtanx。,用类似方法，还可求得：,(cotx)=-csc2x，,(cscx)=-cscxcotx。,解：,3.求导公式小结,1(C)=0，,2(xm)=mxm-1，其中m为常数，,3(sinx)=cosx，(cosx)=-sinx，,4(ax)=axlna，特殊地(ex)=ex，,(tanx)=sec2x，(cotx)=-csc2x，,(secx)=secxtanx，(cscx)=-cscxcotx，,二、反函数的求导法则,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,简要证明：,因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。,例1求(arcsinx)及(arccosx)。,解：,因为y=arcsinx是x=siny的反函数，所以,例2求(arctanx)及(arccotx)。,解：,因为y=arctanx是x=tany的反函数，所以,(1)(C)=0，(2)(xm)=mxm-1，(3)(sinx)=cosx，(4)(cosx)=-sinx，(5)(tanx)=sec2x，(6)(cotx)=-csc2x，(7)(secx)=secxtanx，(8)(cscx)=-cscxcotx，(9)(ax)=axlna，(10)(ex)=ex，,基本初等函数的导数公式小结：,，,三、复合函数的求导法则,如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x0可导，且其导数为,假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，此时有,简要证明：,=f(u0)j(x0)。,复合函数的求导法则也可表示为：,如果u=j(x)在开区间Ix内可导，y=f(u)在开区间Iu内可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=fj(x)在区间Ix内可导，且下式成立：,复合函数的求导法则：,例,3,y,=lntan,x,，,求,解：函数y=lntanx是由y=lnu，u=tanx复合而成，,复合函数的求导法则：,复合函数的求导法则：,复合函数的求导法则：,对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。,复合函数的求导法则：,复合函数的求导法则：,复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。,复合函数的求导法则：,解：y=(sinnx)sinnx+sinnx(sinnx)=ncosnxsinnx+sinnxnsinn-1x(sinx)=ncosnxsinnx+nsinnxsinn-1xcosx=nsinn-1xsin(n+1)x。,复合函数的求导法则：,例11,解,补充例题,例12,解,例13,解,思考题,思考题解答,正确的选择是（3）,例,在处不可导，,取,在处可导，,在处不可导，,取,在处可导，,在处可导，,公式u(x)+v(x)=u(x)+v(x)的证明：,设f(x)=u(x)+v(x)，则由导数定义有,这表示，函数f(x)在点x处也可导，且f(x)=u(x)+v(x)。即u(x)+v(x)=u(x)+v(x)。,公式u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)的证明：,=u(x)v(x)+u(x)v(x)，,u(x)v(x),谢谢观赏,WPSOffice,MakePresentationmuchmorefun,WPS官方微博kingsoftwps,