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第三节与圆有关的计算,考点一与圆有关的计算百变例题4如图，AB是O的直径，P是O外一点，PAAB，弦BCOP，且APC60，AP2.,(1)求证：PC为O的切线；【自主解答】证明：如解图1，连接OC，BCOP，BPOA，BCOCOP，OBOC，BOCB，COPAOP；OCOA，OPOP，,PCOPAO(SAS)，OCPOAP90，OC为O的半径，PC是O的切线；,(2)求AOP的度数；【自主解答】解：PC、PA是O的切线，且APC60，APO30，AOP60；,(3)求O的半径；【自主解答】解：APC60，AP2，由(2)得APO30，又BAP90，OP2OA，在RtAPO中，OP2OA2AP2，即4OA2OA2(2)2，解得OA2，O的半径为2；,(4)求弧的长度；【自主解答】解：在四边形OAPC中，APC60，PCOPAO90，AOC120，,(5)求BC的长；【自主解答】解：在四边形OAPC中，APC60，PCOPAO90，AOC120，BOC60，又OBOC，OBC为等边三角形，BCOBOC2；,(6)求图中阴影部分的面积；【自主解答】解：S阴影SAPOS扇形OAD,(7)若扇形AOC(劣弧所对的部分)是圆锥的侧面展开图，求该圆锥的高h.【自主解答】解：在图中作辅助线如解图2.FG即为扇形AOC的半径，FGOA2，圆锥底面圆的周长即为扇形AOC的弧长即解得,解图2,1(2015云南省卷)若扇形面积为3，圆心角为60，则该扇形的半径为()A3B9C2D3,D,2(2014云南省卷)已知扇形的圆心角为45，半径长为12，则该扇形的弧长为()A.B2C3D12,C,考点二阴影部分面积的计算命题角度直接用面积公式计算例1(2018成都)如图，在ABCD中，B60，C的半径为3，则图中阴影部分的面积是()AB2C3D6,【分析】由图可知，阴影部分是半径为3，圆心角为C的扇形，故需计算C的度数，由平行四边形邻角互补可得结论，再利用扇形面积公式计算即可【自主解答】四边形ABCD是平行四边形，ABCD.BC180.C18060120.S阴影3.故选C.,命题角度等积转化法例2如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD2，则阴影部分图形的面积为()A4B2CD.,【分析】可由圆的对称性将阴影部分面积等积转化为扇形OBC的面积，利用公式计算,【自主解答】如解图，设CD交OB于E，AB是直径，CDAB，CEDE，CDB30，DBE90BDE60.COB2CDB60，COEDBE，CEDE，CEODEB，COEDBE(AAS)，在RtCOE中，CEDE，COE60，CO2.S阴影S扇形OCB故选D.,命题角度直接和差法例3(2018益阳)如图，正方形ABCD内接于圆O，AB4，则图中阴影部分的面积是()A416B816C1632D3216,【分析】观察图形，可知阴影部分的面积为圆的面积减去正方形的面积【自主解答】由正方形ABCD中AB4，可得圆O半径为2，所以S阴影S圆OS正方形ABCD(2)242816.故选B.,命题角度构造和差法例4(2017云南省卷)如图，边长为4的正方形ABCD外切于O，切点分别为E、F、G、H.则图中阴影部分的面积为,【分析】如解图，连接HO并延长交CB于点P，证四边形AHPB为矩形知HF为O的直径，同理得EG为O的直径，再证四边形DGOH、四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形得出圆的半径及HGF为等腰直角三角形，根据S阴影SOSHGF可得答案,【自主解答】如解图，连接HO并延长HO交CB于点P，正方形ABCD外切于O，ABAHP90，四边形AHPB为矩形，OPB90，又OFB90，点P与点F重合，则HF为O的直径，同理EG为O的直径，由DOGDOHD90且OHOG知，四边形DGOH为正方形，,同理四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形，DHDGGCCF2，HGOFGO45，HGF90，GHGF2，则S阴影SOSHGF222224，故答案为24.,常见阴影部分面积计算的方法汇总,考点三圆锥、圆柱的相关计算例5(2016云南省卷)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6，16的长方形，那么这个圆柱的体积等于【分析】分两种情况：底面周长为6，高为16；底面周长为16，高为6；先根据底面周长得到底面半径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解,【自主解答】底面周长为6，高为16，()21616144；底面周长为16，高为6，()26646384.这个圆柱的体积为144或384.,例6(2017云南省卷)正如我们小学学过的圆锥体积公式Vr2h(表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到.祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把计算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位,数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习,下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9，则这个圆锥的高等于(),【分析】设母线长为R，底面圆半径为r，根据弧长公式、扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高【自主解答】设母线长为R，底面圆半径为r，圆锥的高为h，由于圆锥的侧面展开图是个半圆，侧面展开图的弧长为：R，底面圆的周长为：2r，R2r，R2r，由勾股定理可知：hr，圆锥的体积等于9，9r2h，r3，h3.故选D.,
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