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数字逻辑基础,中国水利水电出版社,管庶安,第1章逻辑代数基础,1.1概述,1.2逻辑代数的基本概念,1.3逻辑函数,1.4逻辑函数的标准形式,1.5逻辑代数的重要定理,1.6逻辑函数化简,1.1概述,1.1.1数字系统的基本概念数字系统：对数字信号进行加工、传输、和存储的实体。数字信号：一系列离散的数据。,举例：用计算机播放电影,计算机就是一个典型的数字系统。,数字量的表示形式：用“0”和“1”两个基本逻辑量组成。例：十进制数9用1001表示；字符A用1000001表示。逻辑运算：对两种基本逻辑量进行的逻辑意义上的运算。逻辑运算是对数字量进行处理的最基本运算，任何运算归根到底是由大量的逻辑运算综合形成的。逻辑电路：实现逻辑运算的电子电路。在逻辑电路中，一般用高电平表示逻辑“1”，用低电平表示逻辑“0”。逻辑电路的特点：抗干扰能力强、运算精确、速度高、集成度高。,1.1.2数字逻辑技术的主要内容,逻辑代数对逻辑量进行运算的规律、法则和方法。逻辑电路分析逻辑电路设计就是根据给定的功能要求，设计出逻辑电路。逻辑电路设计对于一个给定的逻辑电路，分析其工作原理，获得该电路所具有的逻辑功能。,1.2逻辑代数的基本概念,1.2.1逻辑变量及基本运算逻辑常量仅有两个：“1”和“0”，代表某命题为“真”或为“假”。逻辑变量值可以变化的逻辑量，取值只能是0或1。逻辑变量用英文字母表示，如A、B、C、F等。基本逻辑运算与运算，用符号“”表示，例如AB或运算，用符号“+”表示，例如A+B非运算，用符号“”表示。例如,三种基本逻辑运算的法则,1.2.2逻辑表达式,由逻辑变量、常量及基本逻辑运算符所构成的式子。例：“与”运算符号“”可以省略：逻辑运算的优先顺序：括号可以改变优先顺序。例：,1.2.3逻辑代数的公理,逻辑代数的公理：从逻辑代数的基本运算法则出发，经推导得出的、具有普遍使用意义的逻辑运算规律。,对偶：将基本式中的“”换成“”，“”换成“”，0换成1，1换成0，便得到对偶式。,先列出前5条公理：,15的证明：用枚举法。例：证明重叠律。已知变量A的取值仅有1或0两种。将A=0代入A+A=A有：0+0=0，等式成立；将A=1代入A+A=A有：1+1=1，等式成立；即无论A为0还是A为1等式均成立，重叠律得证。,用推理法可证明67式。例：证明吸收律。吸收律得证。,公理（续）,用推理法可证明911式。例：证明消去律。消去律得证。,公理（续）,1.3逻辑函数,1.3.1逻辑函数的定义,若逻辑变量F的值由逻辑变量A1、A2、An的值所决定，则称F为A1、A2、An的函数，记为F值也只能为0或1。,用逻辑电路实现逻辑函数,输入,输出,1.3.2逻辑函数的表示法,用逻辑表达式表达此逻辑命题：,逻辑命题：A、B两人对某问题发表的意见，否定记为0，肯定记为1；F为结果，意见不同时F的值为0，相同时F的值为1。,用真值表表达此逻辑命题：,特点：简洁、便于运用公理计算。但不够直观。,特点：直观。但当变量多时规模大。,用卡诺图表达此逻辑命题：,F,注意：卡诺图在分析和设计逻辑电路中具有重要地位。,例如：A=0的行和B=0的列相交的小方格的值为1，表示：当A=0、B=0时F的值为1,1.3.3复合逻辑,用三种基本逻辑运算组成的特殊逻辑运算,与非逻辑,例：,与非逻辑可以表达任何复杂的逻辑。,或非逻辑,例：,或非逻辑可以表达任何复杂的逻辑。,异或逻辑,例：,简记为,同或逻辑,例：,简记为,注意,1.4逻辑函数的标准形式,1.4.1最小项,什么是最小项？n个逻辑变量组成的“与”项中，所有变量以原变量或反变量的形式出现一次。,例：对于2个逻辑变量，共可写出4个最小项：,用mi最小项,例：,用二进制数0表示反变量,1表示原变量;,改用十进制数表示;,此十进制数就是mi的下标.,最小项的性质,性质1任取一组值,仅有一个最小项的值为1。性质2任意两个最小项相与,结果为0。性质3全部最小项相或,结果为1。即：,用最小项表达逻辑函数,例：,1.4.2最大项,什么是最大项？n个逻辑变量组成的“或”项中，所有变量以原变量或反变量的形式出现一次。,例：对于2个逻辑变量，共可写出4个最大项：,用Mi最大项,例：,用二进制数1表示反变量,0表示原变量;,改用十进制数表示;,此十进制数就是Mi的下标.,最大项的性质,性质1任取一组值,仅有一个最大项的值为0。性质2任意两个最小项相或,结果1。性质3全部最大项相与,结果为0。即：,用最大项表达逻辑函数,例：,互补律，0-1律,分配律,重叠律,1.4.3逻辑函数表达式的转换,例：,F=1时的最小项,F=0时的最大项,注意：最小项与最大项的下标相互错开,1.真值表法,2.卡诺图法,卡诺图的结构（以2变量卡诺图为例）,排列原则：任何两个上下或左右相邻的小方格对应的两个最小项中，有且仅有一个变量发生变化。,3变量卡诺图的结构：,注意：（1）应遵守排列原则；（2）四个角上的小方格也相邻，也应遵守排列原则；（3）为了满足（2），BC的取值顺序并非由小到大，见图中的红色数字。,4变量卡诺图的结构：,注意：（1）应遵守排列原则；（2）上下两行上的小方格对应相邻，如m1和m9相邻；（3）左右两列上的小方格对应相邻，如m4和m6相邻；（4）为了满足（2）和（3），AB、CD的取值顺序并非由小到大。,5变量及以上的卡诺图为多层立体结构，较复杂，操作不便。,用卡诺图表达逻辑函数,例：用卡诺图表达,（1）计算出与F对应的各最小项的值：,m0=0、m1=0、m2=0、m3=1、m4=0、m5=1、m6=1、m7=1,（2）将各最小项的值填入3变量卡诺图中：,3变量卡诺图,（3）由卡诺图得到F的最小项表达式：,1.4.4逻辑函数的相等,如果两个逻辑函数F、G具有相同的逻辑变量，且对任何一组变量取值，F和G的值都相等，则F=G。,例：下面的两个函数相等：,1.5逻辑代数的重要定理,摩根定理,例：运用摩根定理可得,香农定理,如果将一个函数表达式中的原变量换成反变量，反变量换成原变量；将“”运算换成“”运算，“”运算换成“”运算；将常量“1”换成“0”，“0”换成“1”，则得到的新函数是原来函数的反函数。,例：运用香农定理，有：,对偶定理,如果将一个函数f中的“”运算换成“”运算，“”运算换成“”运算；将常量“1”换成“0”，“0”换成“1”，但变量保持不变，则得到的新函数称为原来函数的对偶函数，记为f。,例：,对偶函数为：,推论：,1.,2.若,，则,。,若有，则f称为自对偶函数。,例：,是自对偶函数,1.6逻辑函数化简,若“与-或”表达式满足：（1）表达式中的“与”项个数最少；（2）每个乘积项中变量个数最少。则称为最简“与-或”式。,1.6.1代数化简法,例：,例：,包含律,吸收律,包含律,。,例：,1.6.2卡诺图化简法,1基本原理,上下或左右相邻的两个“1”小方格可以合并为一个与项，并且消去一个变量。,例：化简,F的卡诺图中，为1的小方格上下相邻。上面的小方格代表的最小项中A以反变量出现；下面的小方格代表的最小项中A以原变量出现。因此，两个最小项相“或”可消去A。,操作：将相邻小方格圈在一起。此圈称为卡诺圈。一个卡诺圈对应一个与项，此卡诺圈为。,因只有1个卡诺圈，故化简结果为：,例：化简函数,注意：红色小方格也是相邻格,结果：,例：化简函数,注意：绿色小方格与其他小方格均不相邻,结果：,若四个相邻最小项排成一个矩形，则可合并为一个与项，并消去2个变量。合并后的结果中只包含最小项的公共因子。,例：化简函数,左下角的四个小方格相邻，在垂直方向上变量B发生了变化，A保持为1；在水平方向上变量D发生了变化，C保持为0。因此，化简结果中消去了变量B、D，保留了公共因式。,操作：1.将四个相邻小方格圈在一起，得与项。2.将二个相邻小方格圈在一起，得与项ABD。注：这里重复利用了一个小方格。,结果：,例：化简函数,注意：红色小方格也是相邻格,结果：,注意：应尽可能圈出最大的圈，否则结果将不是最简的。,例：上例若按下面的圈法：,结果虽然正确，但未达到最简。,结果：,若八个相邻最小项排成一个矩形，则可合并为一个与项，并消去3个变量。合并后的结果中只包含最小项的公共因子。,例：化简函数,结果：,卡诺图化简逻辑函数的一般步骤：,画卡诺圈。构成卡诺圈的小方格必须满足：对应的函数值全部为1。总数为2n个。拼成尽可能大的矩形。2按2的要求圈出全部可能的卡诺圈，即：直到为1的所有小方格圈完为止。小方格可以重复利用，但每一卡诺圈中至少应含有一个未被其它卡诺圈使用的小方格。3一一写出每个卡诺圈表示的“与”项。该“与”项由这样的变量乘积组成：沿垂直方向保持不变的斜线下方的变量。沿水平方向保持不变的斜线上方的变量。保持为0的采用反变量形式，保持为1的采用原变量形式。4将各卡诺圈表示的“与”项累加起来，得到化简结果。,
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