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实验1数学建模初步,从数学的重要性谈起!,数学的重要性:众所周知?,E.E.DavidJr.:(NoticesofAMS,v31,n2,1984,P142)现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术。,马克思:一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步。,资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告:(NSFReport,March1998)现如今的数学科学对科学的所有的三个方面:观察、理论和模拟来说都是必不可少的。数盲和文盲一样是极其有害的。,既要学好“算数学”,更要培养“用数学”的能力,利用计算机和数学软件,培养分析、思考能力,感受“用数学”的酸甜苦辣,激发学好数学的愿望,数学的重要性:似是而非?,不少同学(甚至社会)的反映:-无用-难学,原因:很少用;用不好,最常用的大学数学内容有哪些?,纯粹数学(PureMath)基础/核心(Core)数学?应用数学(AppliedMath)计算数学(ComputationalMath)概率论与数理统计随机/统计数学?运筹学(OR)与控制论运筹数学?,数学的二级学科(研究生专业),Core,应用数学,数学与数学实验,数学实验MathematicalExperiments/ExperimentsinMathematics实验数学ExperimentalMathematics/MathematicsbyExperiments两层含义:通过实验(当前主要是计算机实验):研究/探索/发现数学知识学习/验证/应用数学知识,什么是数学建模,人们常见的模型:,实物模型,玩具、照片、火箭模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型(Prototype)的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,司机(方向盘)、钳工(工件),思维模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用x表示船速,y表示水速,列出方程:,求解得到x=20,y=5.,答:船速每小时20千米,甲乙两地相距750公里,船从甲到乙顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少。,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设(船速、水速为常数);用符号表示有关量(x船速,y水速);用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)列出数学式子(二元一次方程);求解,得到数学解答(x=20,y=5);回答原问题(船速每小时20千米)。,数学模型(MathematicalModel)是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模(MathematicalModeling)应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.数学模型与数学建模,数学模型(MathematicalModel)和数学建模(MathematicalModeling),数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的,作出必要的简化假设,根据对象的内在规律,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),数学建模的全过程,一个简单的数学建模实例,汽车刹车距离问题,问题:汽车行驶前方出现突发事件紧急刹车;车速越快,刹车距离越长;刹车距离与车速之间是什么关系?(线性、),从司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车行驶的距离。,刹车距离指什么?,实验数据:车速v(km/h)与刹车距离d(m)(假设我们用同一辆汽车,同一司机驾驶,在不变的道路、气候等条件下进行。),汽车刹车距离,d与v不是线性关系,问题分析,制动力使汽车作匀减速运动,刹车距离=反应距离+制动距离,汽车刹车距离,反应距离:“司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离,制动距离,反应距离,制动距离:“制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离,假设与建模,刹车距离d=反应距离d1+制动距离d2,反应距离d1与车速v成正比:d1=k1v,刹车使用最大制动力F,F作功等于汽车动能的改变,k1反应时间,F使车作匀减速运动:F=ma,汽车刹车距离,参数估计,汽车刹车距离,反应时间为k10.65s,刹车时的减速度a=1/2k26m/s2,模型,用实验数据对k1,k2作拟合:k1=0.6522,k2=0.0853,内容提要,数学模型的基本概念,数学建模实例,数学建模的重要意义,数学建模的一般步骤,如何培养数学建模能力,刹车距离,生产计划,蛛网模型,人口预测,数学模型(MathematicalModel)和数学建模(MathematicalModeling),数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的,作出必要的简化假设,根据对象的内在规律,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),数学建模的全过程,例2市场经济中的蛛网模型,问题,供大于求,现象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,数量与价格在振荡,建立一个简化的数学模型描述这种现象,例2市场经济中的蛛网模型,xk第k时段商品数量;yk第k时段商品价格,消费者的需求关系需求函数,生产者的供应关系供应函数(设滞后一个时间段),减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0)平衡点,一旦xk=x0,则,yk=y0,,xk+1=x0,,yk+1=y0,简化:f与g线性,没有说明能不能达到平衡点?,x1,设x1偏离x0,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,例2市场经济中的蛛网模型,方程模型,P0稳定,P0不稳定,与蛛网模型对比,例2市场经济中的蛛网模型,平衡状态:x0=100,y0=10,,=0.1,=5,=0.1,=5,=0.24,=5,=0.24,=5,x1=110,例,例2市场经济中的蛛网模型,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,经济稳定,结果解释,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,例2市场经济中的蛛网模型,经济不稳定时政府的干预办法,1.使尽量小,如=0,以行政手段控制商品价格不变,2.使尽量小,如=0,靠经济实力控制商品数量不变,例2市场经济中的蛛网模型,例3汽车厂生产计划,如果生产某一类型汽车,则至少要生产80辆,那么最优的生产计划应作何改变?,汽车厂生产三种类型的汽车,已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求,利润及工厂每月的现有量:,制订月生产计划,使工厂的利润最大。,基本模型,整数线性规划模型(ILP),设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3,例3汽车厂生产计划,模型求解,第一种办法,整数线性规划(ILP),MATLABLINDO/LINGO,为了得到x1,x2,x3的整数解,在实数解附近试探:,x1=65,x2=167,x3=0;,在满足约束条件前提下,计算并比较目标函数的大小,x1=64,x2=168,x3=0;,结果:x1=64,x2=168,x3=0;z=632,例3汽车厂生产计划,模型求解,第二种办法,利用直接求解整数线性规划的软件(如:LINDO/LINGO),求解整数线性规划的复杂程度比线性规划大得多,结果与上面相同,用普通软件能求解的整数线性规划的规模受到限制,例3汽车厂生产计划,其中3个子模型易去掉,然后逐一求解,比较目标函数值,再加上整数约束,得最优解:,方法1:分解为8个LP子模型,若生产某类汽车,则至少生产80辆,求生产计划。,x1,x2,x3=0或80,x1=80,x2=150,x3=0,最优值z=610,例3汽车厂生产计划,方法2:引入0-1变量,化为整数线性规划(ILP),M为大的正数,如1000,x1=0或80,NLP可用LINGO,MATLAB求解,其结果常依赖于初值的选择,且一般不能保证得到全局最优解。(见实验7),方法3:化为非线性规划(NLP),例3汽车厂生产计划,例4人口预报,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,指数增长模型(马尔萨斯1798年提出),常用的计算公式,x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率r是常数,今年人口x0,年增长率r,k年后人口,随着时间增加,人口按指数规律无限增长,例4人口预报,指数增长模型,参数估计(r,x0),专家估计;利用实际数据作拟合,线性最小二乘法,例4人口预报,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后美国及其它地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,指数增长模型结果分析,能描述十九世纪以前美国人口的增长,例4人口预报,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后,增长率下降的原因:,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),例4人口预报,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),例4人口预报,阻滞增长模型参数估计(r,xm),线性最小二乘法,例4人口预报,模型检验,用模型计算2000年美国人口,与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),例4人口预报,谢谢聆听!,
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