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第一章集合与常用逻辑用语、算法初步第一节集合,1.集合的基本概念(1)元素的特性_;_;_.(2)集合与元素的关系,确定性,互异性,无序性,(3)常见集合的符号(4)集合的表示方法_;_;_.,N*或N+,N,Z,Q,R,列举法,描述法,Venn图法,2.集合间的基本关系,关系,表示,相同,AB或BA,AB或BA,任何集合,任何非空集合,A,B(B),3.集合的基本运算,AB,AB,x|xA或xB,x|xA且xB,UA=x|xU且xA,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)(1，2)=1，2.()(2)已知集合A=x|y=x2,B=y|y=x2,C=(x,y)|y=x2，则A=B=C.()(3)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.()(4)AB=的充要条件是A=B=.(),【解析】(1)不正确.集合(1，2)表示元素为点(1，2)的点的集合，而1，2则表示元素为1，2的数的集合.(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域，即A=(-,+)；集合B是函数y=x2的值域，即B=0,+)；集合C是满足方程y=x2的实数x,y的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等.,(3)正确.空集的子集个数为1个，即；含有1个元素的集合a1的子集个数为2个，即,a1；含有2个元素的集合a1,a2的子集个数为4个，即,a1,a2,a1,a2归纳可得含有n个元素的集合的子集个数为2n个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.(4)错误.AB=时，只要集合A,B没有公共元素即可，不一定是A=B=.答案:(1)(2)(3)(4),1.已知集合A=xN|0x5,AB=1,3,5，则集合B=_.【解析】集合A=0,1,2,3,4,5,所以集合B=0,2,4.答案：0，2，4,2.已知集合A=x|-1x5,集合B=x|x3，则AB=_.【解析】AB=x|-1x5x|x3=x|-1x3.答案:x|-1x3,3.已知集合A=0,1,AB=0,1,2，则满足条件的集合B的个数为_.【解析】A=0,1,AB=0,1,2,B=2或B=0,2或B=1,2或B=0,1,2，故满足条件的共4个.答案：4,4.已知全集U=1,2,3,4，5,集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x=2a,aA,则集合U(AB)中元素的个数为_.【解析】A=x|x2-3x+2=0=1,2,B=x|x=2a,aA=2,4,AB=1,2,4,U(AB)=3,5.答案：2,5.已知集合A=-1,0,a,B=x|0x1,若AB,则实数a的取值范围是_.【解析】如图，显然必须AB=a,则0a1.答案：(0，1),6.已知全集U=R,集合A=x|-2x3,B=x|x4，则集合A(UB)等于_.【解析】UB=x|-1x4,A(UB)=x|-1x3.答案:x|-1x3,考向1集合的基本概念【典例1】(1)(2012新课标全国卷改编)已知集合A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|xA,yA,x-yA,则B中所含元素的个数为_.(2)(2013无锡模拟)设集合A=-1,1,3,B=a+2,a2+4，AB=3,则实数a的值为_.,【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足xA,yA,x-yA的有序实数对，根据要求分类列举求解.(2)根据3B分类讨论求解a的值，根据集合元素的互异性确定a的值.,【规范解答】(1)方法一：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个.所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10.,方法二：在平面直角坐标系中列出x,yA的点，其中在直线x-y=a(aA)上的点的个数即为集合B中元素的个数.如图，容易计算其中是集合B的元素的共有10个.答案:10,(2)因为AB=3，3B，所以当a2+4=3时，a2=-1无意义，当a+2=3，即a=1时，B=3,5.此时AB=3满足条件，故a=1.答案：1,【互动探究】在本例题(1)的集合B中如果去掉x-yA的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有55=25个元素.,【拓展提升】1.集合与元素的关系集合与元素之间只能有“属于”“不属于”两种，二者必居其一且只能居其一，即集合元素的确定性.,2.集合的含义,【变式备选】定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB.设A=1,2,B=0,2,则集合A*B的所有元素之和为_.【解析】根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B=0，2，4，故集合A*B中所有元素之和为6.答案:6,考向2集合间的基本关系【典例2】(1)(2012大纲版全国卷改编)已知集合A=1,3,，B=1,m，AB=A，则m=_.(2)若集合A=1,a,b，B=a,a2,ab，且AB=AB，则实数a的取值集合是_.,【思路点拨】(1)AB=ABA，据此得关于m的方程，解出m的值，再根据集合元素的互异性、集合的包含关系进行检验.(2)AB=ABA=B，得出关于a,b的方程组，解出a,b，再根据集合元素的性质加以检验得出结论.,【规范解答】(1)因为AB=AB，所以AB=A,所以BA,所以m=3或m=若m=3，则A=1,3,B=1,3，满足AB=A.若解得m=0或m=1.若m=0，则A=1,3,0，B=1,0,满足AB=A.若m=1，则A=1,3,1,B=1,1，显然不成立，综上，m=0或m=3.答案：0或3,(2)方法一：因为AB=AB，所以A=B，所以1,b=a2,ab，反代回A,B集合知，只有适合，所以即实数a的取值集合是-1.,方法二:因为AB=AB，所以A=B，所以1，b=a2,ab.由于两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别等于另外两个数的和与积，故1,b=a2,ab成立的充要条件是反代回A，B集合知，只有适合.即实数a的取值集合是-1.答案:-1,【拓展提升】集合间的基本关系的几个结论(1)AB=ABA.(2)AB=AAB.(3)AB=ABA=B.【提醒】解决两个集合之间的包含关系时，注意空集的情况，如AB，无论集合B如何，集合A都有为空集的可能.,【变式训练】(1)已知M=x|x-a=0,N=x|ax-1=0，若MN=N，则实数a的值为_.【解析】MN=NNM.当a=0时，N=，符合要求，当a0时，只要即a=1即可.答案：0或1或-1,(2)设集合A=x,y,x+y,B=0,x2,xy，若A=B，则实数对(x,y)的取值集合是_.【解析】由A=B，且0B，故集合B中的元素x20,xy0，故x0,y0，那么只能是集合A中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，x,y=x2,xy，答案:(1,-1),(-1,1),考向3集合的基本运算【典例3】(1)(2012江苏高考)已知集合A=1,2,4，B=2,4,6，则AB=_.(2)(2013南京模拟)集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y=-x2,-1x2,则(AB)=_.【思路点拨】(1)可以根据并集的定义直接求出AB.(2)集合A是一个不等式的解集，集合B是函数的值域，分别求出A和B，然后求出AB，最后由补集的定义求(AB).,【规范解答】(1)AB=1,2,42,4,6=1,2,4,6.答案：1,2,4,6(2)A=x|x-2|2,xR=x|0x4,B=y|y=-x2,-1x2=y|-4y0,AB=0,R(AB)=(-,0)(0，+).答案：(-,0)(0,+),【拓展提升】1.集合的基本运算的关注点(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.,2.集合的运算律(1)交换律：AB=BA,AB=BA.(2)结合律：(AB)C=A(BC)；(AB)C=A(BC).(3)分配律：A(BC)=(AB)(AC)；A(BC)=(AB)(AC).(4)狄摩根定律:U(AB)=(UA)(UB)；U(AB)=(UA)(UB).,【变式训练】(1)若集合则RA=_.【解析】方法一：由不等式得故RA=(-,0方法二：根据补集思想，RA=(-,0答案：,(2)(2013南通模拟)设全集U=R，集合A=x|x2，B=-1,0,1,2,3，则(UA)B=_.【解析】UA=x|x2，(UA)B=-1,0,1.答案：-1,0,1,【创新体验】以集合为载体的创新型问题【典例】(2011福建高考改编)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k,即k=5n+k|nZ，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：20111；-33；Z=01234;“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a-b0”，其中，正确结论有_(填序号).,【思路点拨】,【规范解答】2011=2010+1=4025+11,正确；由-3=-5+22可知不正确；根据题意信息可知正确;若整数a，b属于同一类，不妨设a，bk=5n+k|nZ,则a=5n+k,b=5m+k,n,m为整数，a-b=5(n-m)+00正确,故正确.答案：,【思考点评】1.方法感悟：本题中对新定义的理解是解题的关键，定义中的“类”实际上就是一个集合，这个集合中的元素被5除所得的余数相同，即集合k中的元素特征是5n+k(n为整数)，明确了这个特征后就可以通过计算和简单的推理解决问题了.,2.技巧提升：以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力.(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.,(2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.,1.(2012湖南高考改编)设集合M=-1,0,1，N=x|x2x，则MN=_.【解析】N=x|0x1,M=-1,0,1,MN=0,1.答案：0,1,2.(2012山东高考改编)已知全集U=0，1，2，3，4，集合A=1，2，3，B=2，4，则(UA)B为_.【解析】因为UA=0,4,所以(UA)B=0,2,4.答案：0,2,4,3.(2012浙江高考改编)设集合A=x|1x4，集合B=x|x2-2x-30,则A(RB)=_.【解析】B=x|x2-2x-30=x|-1x3，A(RB)=x|1x4x|x-1或x3=x|3x4.答案：(3，4),4.(2012江西高考改编)若集合A=-1，1，B=0，2，则集合z|z=x+y,xA,yB中的元素的个数为_.【解析】因为xA,yB，所以当x=-1时，y=0,2，此时z=x+y=-1,1.当x=1时，y=0,2，此时z=x+y=1,3，所以集合z|z=-1,1,3=-1,1,3，共3个元素.答案：3,5.(2013连云港模拟)已知全集U=1，2，3，4，集合P=1,2，Q=2,3，则U(PQ)等于_.【解析】PQ=1,22,3=1,2,3,U(PQ)=4.答案：4,6.(2013苏州模拟)若不等式x2-3x0的解集为M.函数f(x)=lg(1-x)的定义域为N，则MN=_.【解析】M=x|0x3，N=x|x1.MN=x|x3.答案：x|x3,1.有下列结论：以上结论正确的是_(填序号).,【解析】令a=0,b=1，则令a=0,b=1，则a+bi=i，故ix|x=a+bi,a,bC；令a=1,b=1，则a+bi=1+i，故1+ix|x=a+bi,a,bC.答案：,2.已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR是两个向量集合，则PQ=_.【解析】因为a=(1,m)，b=(1-n,1+n)，令a=b，所以故PQ=(1,1).答案：(1,1),3.已知集合A=(x,y)|x2+y21，B=(x,y)|-1x1,-1y1，则集合N=(x,y)|x=x1+x2,y=y1+y2,(x1,y1)A,(x2,y2)B表示的区域的面积是_.,【解析】x1=x-x2,y1=y-y2，代入得(x-x2)2+(y-y2)21，其中圆心在区域(x,y)|-1x1,-1y1内变动，变动过程中形成如图所示的平面区域，这个区域含有原有的正方形区域，以及四个四分之一圆形区域，四个边长为2,1的矩形，故其面积是4+421+=12+.,答案:12+,
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