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第一讲椭圆,重点难点重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质难点：椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法知识归纳,1椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,2椭圆的标准方程与几何性质,误区警示1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况2求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为1(m0，n0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2By21(A0，B0)，这种形式在解题中更简便,一、函数与方程的思想、待定系数法在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其它量的函数，运用函数的方法解决求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解,二、焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形习惯上，称作焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：定义正、余弦定理三角形面积,例在椭圆1上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直解析：解法1：(交轨法)设点P(x，y)，PF1PF2，P点在以F1F2为直径的圆上，x2y225.又点P在椭圆上，1.联立上述两个方程，解得点P的坐标为(3，4)，(3，4).,解法2：(面积法)设点P(x，y)，则SF1PF2|F1F2|y|.由椭圆定义知|PF1|PF2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|180，又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2100，|PF1|PF2|40，SF1PF2|PF1|PF2|20.y4，以下同解法1.,解法3：(向量法)设点P(x，y)，由题设知F1(5,0)，F2(5,0)，(x5，y)，(x5，y).F1PF2P，0，即(x5)(x5)y20.以下同解法1.,点评：对于此题作进一步分析：PF1PF2实际上是P点在以F1F2为直径的圆上，求P点坐标即为求以F1F2为直径的圆与椭圆的交点坐标，可断定交点个数；如果cb，则有4个交点；如果cb，则有2个交点，如果cb，则无交点.从而可得以下几个变形题,(1)(08江西)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()解析：依题意得，cb，即c2b2，c20)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.,解析：若P是椭圆1(ab0)上一点，F1、F2是两焦点，F1PF2(00)的两焦点，P为椭圆上一点，PF1F215，PF2F175，则椭圆的离心率为_.,例1如图，把椭圆1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|P2F|P7F|_.,解析：设椭圆右焦点为F，由椭圆的对称性知，|P1F|P7F|，|P2F|P6F|，|P3F|P5F|，原式(|P7F|P7F|)(|P6F|P6F|)(|P5F|P5F|)(|P4F|P4F|)7a35.,已知动圆P过定点A(3,0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹方程为_,解析：如图，设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点，即定点A(3,0)和定圆圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8.所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长半轴长为4，,例2设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(),解析：由已知得：2c，b22ac即a2c22ac变形为e22e10解得e1，故选D.,点评：椭圆中有“两轴六点”，准确把握它们之间的相互位置关系和a、b、c、e各量之间的关系，才能结合题目条件形成简捷的解题思路,(广东茂名)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是(),解析：ABF2是等腰直角三角形，|AF1|F1F2|，将xc代入椭圆方程从而2c，即a2c22ac，整理得e22e10，解得e1，由e(0,1)得e1.答案：C,例3在ABC中，BC24，ABAC26，则ABC面积的最大值为()A24B65C60D30解析：解法1：(特殊位置法)由于ABC的底边BC为定长24，故面积取最大值时，底边BC上的高取最大值，当且仅当ABAC13时，BC上的高取最大值5，此时ABC的面积为故选C.,(文)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(),答案：D,(理)*如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2，在x轴上长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在直线l上运动，求F1PF2的最大值,解析：(1)设椭圆方程为1(ab0)，半焦距为c，则|MA1|a，|A1F1|ac，,例4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：yexa与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，(1)证明：1e2；(2)确定的值，使得PF1F2是等腰三角形,解析：(1)证明：因为A、B分别是直线l：yexa与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是,(2)解：因为PF1l，所以PF1F290BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|F1F2|，即|PF1|c.,一、选择题答案D,2(文)已知|AB|4，M是AB的中点，点P在平面内运动且保持|PA|PB|6，则|PM|的最大值和最小值分别是()答案A解析P点的轨迹方程为1，|PM|的最大值a3，最小值b,(理)设F1、F2为椭圆1的左、右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，的值等于()A0B1C2D4答案C,解析如图：由椭圆的对称性知四边形PF1QF2的面积等于F1F2P面积的2倍，|F1F2|当点P为椭圆的短轴的端点时，F1F2P的面积最大，此时点P的坐标为F1(1,0)，F2(1,0)，,二、填空题3椭圆3x2ky23的一个焦点是(0，)，则k_.答案1解析方程3x2ky23变形为x21的焦点(0，)在y轴上，12，k1.,4(文)已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_,(理)(08全国)在ABC中，ABBC，cosB.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e_.,5(文)(08湖南)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，右准线为l，离心率e，过顶点A(0，b)作AMl，垂足为M，则直线FM的斜率等于_,(理)已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|MB|的最大值是_,解析如图，直线BF与椭圆交于M1、M2.任取椭圆上一点M，则|MB|BF|MA|MF|MA|2a|M1A|M1F|M1A|M1B|BF|MB|MA|M1B|M1A|2a|BF|.同理可证|MB|MA|M2B|M2A|2a|BF|，10|MB|MA|10.,6(文)(09北京)椭圆1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_；F1PF2的大小为_答案2；120解析依题知a3，由椭圆定义得|PF1|PF2|6，|PF1|4，|PF2|2.又|PF1|4，|PF2|2，|F1F2|.在F1PF2中，由余弦定理可得cosF1PF2，F1PF2120.,(理)(浙江宁波)椭圆ax2by21与直线y1x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为则的值为_,三、解答题7(理)椭圆C：1(ab0)与x轴交于两点A、B，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值b2a2.证明设点P(x0，y0)，x0a.依题意得，A(a,0)，B(a,0),请同学们认真完成课后强化作业,
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