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算法案例,(第一课时),孙子算经中的孙子问题,秦九韶数书九章的“大衍求一术”,45世纪,中国剩余定理,南宋时期,意大利学者斐波那契的算术,1202年,欧拉发表关于同余式的解法,高斯的巨著算术研究,1734年,1801年,早500多年,1、求两个正整数的最大公约数,（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数,2、求8251和6105的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,辗转相除法（欧几里得算法）,观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,思考：从上述的过程你体会到了什么？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m=nqr,用程序框图表示出右边的过程,r=mMODn,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,例3用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217141477,所以，98和63的最大公约数等于7,欧几里得辗转相除法找出a,b的最大公约数的步骤是:（1）计算ab的余数r,若r=0,则b为a,b的最大公约数；（2）若r=0,则把前面的除数b作为新的被除数,把r作为新的除数,继续运算,直到余数为0,此时的除数即为a,b的最大公约数.,更相减损术找出a,b的最大公约数的步骤是（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。,比较辗转相除法与更相减损术的区别,（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到,回顾反思,辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止较小的数就是最大公约数求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三数的最大公约数来求得,
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