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7.6空间向量及其运算,知识梳理,1.直线的方向向量：,已知点A和非零向量a，若直线l经过点A且平行于向量a所在直线，则向量a叫做直线l的方向向量，且点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta.,2.共面向量：,（1）向量与平面平行：设a，如果直线OA平行于平面或在平面内，则a/.,（2）共面向量：平行于同一平面的向量.,（3）共面向量定理：若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.,3.空间向量基本定理：,若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.,4.向量关系的坐标表示：,设向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2),（1）ab(x1x2，y1y2，z1z2)，a(x1，y1，z1).,（2）abx1x2y1y2z1z2，|a|.,（3）若a/b，则x1x2，y1y2，z1z2(R).,（4）若ab，则x1x2y1y2z1z20.,拓展延伸,1.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，,多个空间向量相加可以用折线法求和向量.,2.空间任意两个向量一定共面，两个空间向量的和、差运算实质是平面向量的和差运算.,3.对空间任一点O和不共线三点A、B、C，若，则点P在平面ABC内的充要条件是xyz1.,4.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合成与分解原理.,5.设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2),则(x2x1，y2y1，z2z1)，,考点分析,考点1空间向量的基底表示,例1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点P、M、N分别是A1C、CD1，C1D1的中点，用基底分别表示向量，和.,【解题要点】用折线法分解向量用线性运算转化为基底.,考点2求点或向量的空间直角坐标,例2在空间直角坐标系中，已知点A(3，0，1)，B(1，0，3).（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|MB|；（2）在y轴上是否存在点M，使MAB为正三角形？若存在，求出点M的坐标.,例3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，点M在棱CD上，且CD4CM，H为C1M的中点，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标.,例4已知点A(3，1，5)，B(2，1，4)，求直线AB与坐标平面xOy的交点P的坐标.,【解题要点】几何法求点的坐标待定系数法求点的坐标.,考点3空间向量的坐标运算,例5对于空间向量a，b，c，已知3a2b(2，0，4)，c(2，1，2)，ac2，|b|4，求b与c的夹角的余弦值.,例6已知点A(1，0，0)，B(0，1，1)，向量与的夹角为120，求的值.,【解题要点】字符运算与坐标运算相结合利用数量积沟通向量关系.,
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