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第二篇动态电路,第五章动态电路的时域分析,第六章动态电路的复频域分析,第七章动态电路的状态变量分析,第五章动态电路的时域分析,5.1动态元件5.2动态电路方程5.3动态电路的初始状态和变量初始值5.4一阶动态电路的零输入响应5.5一阶动态电路的零状态响应5.6一阶动态电路的全响应5.7二阶动态电路的响应,上一篇讨论的内容主要局限于电阻电路。实际上，大量实际电路并不能只用电阻和受控源来构建它们的模型，还必须包含有电容元件和电感元件等。电容和电感元件都能够储存能量，称为储能元件(energystorageelement)，其端口电压电流关系要用微分方程来描述，所以又称为动态元件(dynamicelement)。,含有动态元件（即储能元件）的电路称为动态电路(dynamiccircuit)。动态电路是用微分方程来描述的，所以对这种电路的分析要涉及对微分方程的求解,在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间t的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称时域分析方法。,5.1动态元件,5.1.1电容元件,定义:一个二端元件，如果在任一时刻t，它所储存的电荷q和它的端电压u之间的关系是由qu平面（或uq平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电容元件(capacitor)。这条曲线称库伏特性曲线。,一、线性非时变电容元件,C是与电荷和电压无关的电路参数。,电路符号及其特性曲线,2.伏安关系,电流i和电容电压u取一致参考方向,动态特性：,上式表明，t时刻的电容电流i取决于该时刻电容电压u随时间t的变化率，称为动态元件。,线性非时变电容元件中的u和i之间的关系也可用积分形式表示,记忆特性：,上式表明，线性非时变电容元件在t时刻的电压值取决于从到t时刻的电流值。即电容电压u与电容元件的电流i历史有关;电容元件具有“记忆”电流的性质，是一种记忆元件(memoryelement)。,电容电压的连续性：,当t0=0时，在t时刻有,在t+t时刻有,如果在时间区间t，t+t内，电流i均为有限值，即,（M为有限常数）,那么当t0时，就有u0。表明只要电容电流是有界函数，电容电压就是连续函数，不会跳变。,若干个没有初始储能的电容并联,若干个没有初始储能的电容串联,或,二、电容元件的能量,1.瞬时功率(instantaneouspower),若电容电流和电压取一致参考方向，当pC0时，电容吸收功率；当pC0时，电感吸收功率；当pL0,M0后是一零输入响应。,在冲激电源的作用下，电路中的储能元件的初始状态将产生突变，即冲激电源的作用在于给电路建立初始状态。,对电路方程的两边从t=0-到t=0+进行积分,求uC(0+):,方程的解为,或也可由储能元件伏安特性式直接计算,在线性定常电路中，阶跃响应与冲激响应之间存在着一个重要关系。即如果以s(t)表示某一线性定常电路的阶跃响应，而以h(t)表示同一电路的冲激响应，则有,或者:,2.按求,二、RL串联电路的冲激响应,单位冲激响应iL的电路方程为,求iL(0+),例5.5.4在图(a)电路中，uC(0-)=0，C=2F，R=1，电流源波形如图(b)所示，试求uC。,(a),(b),根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，响应uC为,代入已知参数，并分段表示为,5.5.5对任意输入的零状态响应（卷积积分）,当输入为任意波形时，要采用解微分方程的方法来求响应是很困难的。,但我们知道电路的冲激响应和该电路的零输入相同，而电路的零输入响应的形式只与电路本身的性质有关，与激励的形式无关。,卷积积分的思路是：将任意输入波形分解为一系列冲激强度不同，时间上依次延迟t的冲激函数的叠加，对于线性时不变电路，则电路的响应等于一系列冲激响应的叠加。,5.5.5对任意输入的零状态响应（卷积积分）,卷积积分可简写成,卷积积分满足交换律,例5.5.5：在图(a)电路中，R=5，L=1H，电流源iS波形如图(b)所示，试用卷积求零状态响应iL。,(a),(b),解：先求出单位冲激响应电感电流h(t),单位阶跃响应电感电流s(t)为,（1）0t1时，iS=I0t，,（2）当t1时，iS=0，,零状态响应iL的波形如图所示,例5.5.6：某线性非时变电路在t=0时刻接入的输入波形iS如图(a)所示，电路的冲激响应h(t)如图(b)所示，试求零状态响应y(t)。,5.6一阶动态电路的全响应,动态电路在非零原始状态的情况下，由输入激励和原始状态共同引起的响应，称为全响应(completeresponse)。,5.6.1一阶电路在阶跃电源激励下的全响应,假定电路原始状态uC(0-)=U0,RC并联电路的方程为,以下将重点讨论全响应与零输入响应和零状态响应的关系,（1）当iS=0时，仅由电路原始状态uC(0-)=U0引起的响应是零输入响应uCzi，其对应的电路方程为,（2）当uC(0-)=0，仅由阶跃电流源iS引起的响应是零状态响应uCzs，其对应的电路方程为,相加，则有,根据微分方程解的唯一性充分条件，比较下面两方程,可得：,全响应=零输入响应+零状态响应,上述结论对所有线性动态电路都是成立的。,零输入响应为：,零状态响应为：,所以，全响应uC为：,全响应与输入激励和初始值之间的关系都不满足齐次性和可加性。因此，一阶线性电路的全响应既不是输入的线性函数，也不是初始值的线性函数。,全响应也可分解为：,即一阶常系数线性非齐次微分方程的通解uC，也可以表示为齐次解uCh和特解uCp的合成。,全响应=自由响应+强制响应,全响应=暂态响应+稳态响应,全响应波形的合成,5.6.2一阶电路的经典方法,动态电路响应的求取，可以通过列写电路微分方程并计算齐次解（暂态响应）和特解（稳态响应）的方法得到，这种方法称经典方法(classicalmethod),例5.6.1：在图示电路中，uS1=40V，uS2=180V，R1=10，R2=30，R3=400k，R4=400k，C=0.5F，t=0时开关S换路，换路前电路已稳定。试求uC和iC。,解：根据换路前电路,有uC(0-)30V,uC(0+)uC(0-)30V,换路后电路，根据KVL有,根据KCL有,由特征方程0.2s+20，求得特征根s10,uC的暂态分量为,uC的稳态分量为,例5.6.2如图(a)所示电路，称为积分电路。已知输入电压ui的波形如图(b)所示，且uC(0-)=0V，试求输出电压uo的波形。,(a),解：对图(a)电路，根据运放的“虚短”和“虚断”的概念，有,又由电容的电压电流关系,已知：uC(0+)=uC(0-)=0V,即输出电压为输入电压的积分，故称为积分电路,(b),（1）当0+tT时,（2）当Tt2T时,依此类推，可得出输出电压uo的波形如图(c)所示,(c),例5.6.3：如图(a)所示电路，称为微分电路。已知输入电压ui的波形如图(b)所示，为正弦波形，试求输出电压uo的波形。,(a),解：对图(a)电路，根据运放的“虚短”和“虚断”的概念，有,又由电容的电压电流关系,即输出电压为输入电压的微分，故称为微分电路,5.6.3一阶电路的三要素法,三要素法是跳过建立电路微分方程，直接由给定的一阶电路求三个要素，并列写出响应的数学表达式。,经典方法表明，任意一个一阶电路的全响应y总可表示成暂态响应yt与稳态响应ys之和，即,暂态响应的形式总是,根据初始条件可得,稳态响应ys与激励具有相同的形式,由,三要素中是电路的时间常数，为=RC或者=L/R，其中R为从电容或电感元件两端看进去的等效电阻,当为直流或阶跃电源输入时，响应的稳态解是常量,有,例5.6.4：在图(a)所示电路中，电压源US=100V，R1=R2=30，R3=20，L=1H。开关S在t=0时闭合，闭合前电路处于稳定状态。试用三要素法求电路中的电流i1、i2和i3。,解：由图(b)，求得,由图(C)，得,(a)(b)t=0-(c)t=0+,(d)t=(e)等效电阻电路,由图(d)，可求得,根据分流关系，有,由图(e)，求时间常数。,根据三要素法可得电流i1、i3和i2分别为,例5.6.5在图所示运算放大器电路中，阶跃电压源uS=3(t)V，R1=10k，R2=20k，R3=20k，R4=50k，C=1F。试求阶跃响应uC和uo。,解：阶跃响应为零状态响应，有uC(0-)=0,uC(0+)=uC(0-)=0,根据“虚断”，流经理想运算放大器的电流为零。,运放反馈电路元件构成一个R4C电路，其时间常数,由于输入回路没有动态元件，有,根据“虚短”，由KVL可得,由于uC(0+)=0，u1(0+)=2Vuo(0+)=2V。,电路稳定后，电容等效为开路，运放电路为同相放大电路,根据三要素法公式,例5.6.6：在图示电路中，uS1=40V，uS2=Umcos(t+)=180cos(10t+75)V，R1=10，R2=30，R3=400k，R4=400k，C=0.5F，t=0时开关S换路，换路前电路已稳定。试用三要素法求uC和iC,解：由换路前电路，可得,uC(0-)=30V,时间常数,稳态响应uCs是与输入uS2同频率正弦量，设为,稳态响应uCs必须满足电路方程，即,例5.6.7图(a)所示电路，开关S在t=0时闭合，S闭合前电路处于稳定状态。已知iS=10A，C1=0.3F，C2=0.2F，R1=(1/2)，R2=(1/3)，试求t0时的uC和iC1，iC2。,解：由换路前电路，可得,uC1(0-)=5V，uC2(0-)=0V,所以uC1(0-)uC2(0-),(a),根据KCL：换路后,电荷守恒:,t0+时的等效电路(c)，可求得,(c),uC()=2V，=RC=0.1S。,根据三要素法有,例：在图示电路中，us1=40V，us2=10V，R1=5，R2=20，R3=20，L=0.1H，C=2F，试求S闭合后流过开关的电流i(t)的变化规律,S闭合后,电路可分为两个独立的一阶电路,例：在图示电路中，us1=18V，us2=9V，R1=6，R2=3，R3=2，C=0.5F，电路原已达到稳态，试求S打开电流i(t)的变化规律。,戴维宁等效,戴维宁等效,例：在图示电路中，电感无初始储能，t1s时，开关接在“a”，t=1s时开关打向“b”，R1=2，R2=1，R3=2，L=1H，试求t0时电路的响应iL(t),解：第一次换路由引起,第二次换路,例：在图示电路中，电感无初始储能，t0时图电路的响应uL(t),练习2：在图示电路中，N为线性时不变无源网络,储能元件具有初始能量，,若输入为图示波形时试求u(t),当输入is(t)=2(t)A时，输出,当输入is(t)=(t)A时，输出,练习3：在图示电路中，N0为线性无源，网络含C，开关S闭合前，is(t)的波形和电压零状态的响应u(t)如图所示，已知该网络可用一阶微分方程描述，且=0.8s，试给出该网络的结构，并确定元件参数。,答案:R=2,C=0.4F,5.7二阶动态电路的响应,用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。二阶电路一般含有两个独立储能元件。RLC串联电路和RLC并联电路是最简单的二阶电路。本节主要讨论RLC电路的响应。,5.7.1二阶RLC电路的零输入响应,(a)t0-(b)t0+,(b)t0+,由换路后电路，可得方程为,为二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程,令,根据和0的相对大小，s1和s2可以是两个不相等的负实根、两个相等的负实根、一对共轭复根和一对共轭虚根等四种情况。与此相对应，RLC并联电路的零输入响应有过阻尼(overdamped)，临界阻尼(criticallydamped)，欠阻尼(underdamped)和无阻尼(non-damped)等四种情况。下面分别讨论这四种情况。,特征根s1和s2是两个不相等的负实根,方程的通解为,其中K1和K2为待定常数，由初始条件来确定。,初始条件为iL(0+)=0，,过阻尼情况下的零输入响应电感电流为,其它电路变量的零输入响应,其它电路变量的零输入响应,下面分析零输入响应电容电压uC和电感电流iL波形的变化规律。,（2）设在t=tm时，uC为零值，iL达最大值。,（1）在t=0+时，uC(0+)=U0和iL(0+)=0，即为电路的初始状态。,所以t=2tm也正是电感电流iL波形的拐点位置,（4）当t时，电容电压和电感电流都趋于零。,过阻尼情况下，RLC并联电路的放电过程有三个阶段,(1)0+ttm阶段，电容向外发出功率，提供能量，电感和电阻吸收功率，吸收能量。,(2)tmt2tm阶段电感向外发出功率，提供能量，电容和电阻吸收功率，吸收能量。,(3)t2tm阶段电容和电感都向外发出功率，提供能量，只有电阻吸收功率，吸收能量。,在整个放电过程中，电感和电容都只有一次充电过程，并没有出现反复的充电。如图所示，响应波形最多只有一次改变方向，穿过横轴。所以这种情况称为非振荡情况或过阻尼情况。,2.临界阻尼情况=0，即电路参数满足,特征根s1和s2是两个相等的负实根，s1=s2=，,方程的通解为,由于=0时正好处于振荡与非振荡两种情况之间，所以称为临界情况，或临界阻尼情况。这种情况下电容电压uC和电感电流iL波形与图(a)所示波形相似，也是非振荡的。,3.欠阻尼情况0，即电路参数满足,特征根s1和s2为一对共轭复根，为,方程的通解为,利用欧拉公式，上式可变换成,欠阻尼情况下的零输入响应电容电压和电感电流都是振幅按指数规律衰减的正弦函数或余弦函数，即放电过程是一种周期性（振荡性）的放电，或欠阻尼放电。,4.无阻尼情况=0，即电路参数满足R=,特征根s1和s2为一对共轭虚根，s1j0，s2j0,方程的解为,由初始条件可得,电容电压和电感电流均为不衰减的正弦量。,从上面的分析可看出,四种不同情况与电路方程特征根s1和s2的取值有关。因为s1和s2取决于电路的结构和元件的参数，可以是负数、复数或纯虚数，所以它们在复数平面（亦称为s平面）上的位置是不同的,其相应的零输入响应也不同。,可以明确地作出以下的结论：,（1）当电路方程的特征根位于s平面的负实轴上，电路的零输入响应必是衰减非周期性（非振荡性）类型的，或者说是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型）。,（2）当电路方程的特征根位于开左半s平面内，但不包括位于负实轴上，电路的零输入响应必是衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是欠阻尼型的。,（3）当电路方程的特征根位于s平面的虚轴上，电路的零输入响应必是无衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是无阻尼型的。,（4）当电路方程的特征根位于开右半s平面内，电路方程的解是不收敛的，响应波形是发散的。,5.7.2二阶RLC电路的零状态响应,齐次方程为,齐次解为,特征方程为:,方程的解为,单位阶跃激励下的稳态分量uCp=1,根据初始条件,有,电容电压为,过阻尼,欠阻尼,无阻尼,
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