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1,第二章谓词逻辑,2-7谓词演算的推理理论授课人：李朔Email:chn.nj.ls,2,一、谓词演算推理规则,谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算推理方法的扩张。在一阶逻辑中，推理的形式结构仍为H1H2HnB。若该式为逻辑有效式，则称推理正确，称B是H1，H2，Hn，的逻辑结论，记H1H2HnB。一般的，将逻辑有效蕴含式称为推理定律。命题逻辑中的重言蕴含式，在一阶逻辑中的代入实例，都是一阶逻辑中的推理定律。另外，每个等值式都可产生两条推理定律。,3,一、谓词演算推理规则,谓词演算推理规则P规则：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。T规则：在推导过程中，如果有一个或多个公式重言蕴涵这公式S，则公式S可以引入推导之中。命题演算推理中的P规则、T规则（置换规则、合取引入规则）在谓词推理中都是对的，都可以使用；,4,一、谓词演算推理规则,在谓词推理中，某些前提与结论可受量词限制，为了使用等价式和蕴含式，必须在推理过程中有消去和添加的规则，使推理类似于命题演算中的推理理论。在推理过程中，除了用到命题逻辑中的推理规则外，还须用到下面4条规则。其中AB不一定表示AB是逻辑有效式(非永真)，而仅表示在一定条件下，当A为真时，B也为真的推理关系。全称指定规则（简称US规则）全称推广规则（简称UG规则）存在量词指定规则（简称ES规则）存在推广规则（简称EG规则）,5,二、全称指定规则,1全称指定规则（简称US规则）(x)P(x)P(c)这条规则可以有二种形式：xP(x)P(y)xP(x)P(c)在推理过程中，两种形式可根据需要选用。两式成立的条件是：（1）x为P（x）中自由出现的个体变元(不在P(x)中受约束）（2）在中，y为不在P（x）中约束出现的个体变元；（3）在中，C为任意的论域中某个客体。,6,二、全称指定规则,*全称指定规则在使用中，若不注意条件会犯错误。例如在实数集中的二元谓词F（x，y）：xy，则公式xyF(x,y)为真命题。设P（x）=yF(x,y),此时x在P（x）中自由出现，若用y取代x，则得x(yF(x,y)yF(y,y),结论为“存在y，yy”，这是假命题*出错原因为y在P（x）中是约束出现。,7,三、全称推广规则,2全称推广规则（简称UG规则）P(x)(x)P(x)P（y）xP(x)上式成立，要求以下条件：（1）y在P（y）中自由出现，且y取任何值时P（y）均为真；（2）取代y的x不能在P（y）中约束出现，否则产生错误。,8,三、全称推广规则,例在实数集中F（x，y）：xy，取P（y）=xF(x,y)对给定y都成立。若应用上式时，以x取代y得x(x(xx)，这是假命题*出错原因是违背了（2）。,9,四、存在量词指定规则,3存在量词指定规则（简称ES规则）(x)P(x)P(c)xP(x)P(c)上式的成立，要求满足以下条件：(1)c是使P（x）为真的特定个体常项；(2)c不曾在P（x）中出现；(3)P（x）中除x还有其它自由的客体变元时，不能用此规则。,10,四、存在量词指定规则,例：在自然数集中，设F（x）：x为奇数，G（x）：x为偶数。则xF(x)xG(x)为真命题。如果不注意以上条件的使用，从xF(x)，xG(x)会推出假命题来：1xF(x)P2F（c）ES(1)3xG(x)P4G（c）ES(3)5F（c）G(c)T(2),(4)I6x(F(x)G(x)EG(5)*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中的c不应相同。,11,四、存在量词指定规则,又如，在实数集中，xy(xy)是真命题，请看下面推导：1xy(xy)P2y（zy）US(1)3zcES(2)4x(xc)UG(3)而x(xc)是假命题。*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规则时，z为自由出现的个体变项。,12,五、存在推广规则,4存在推广规则（简称EG规则）P(c)(x)P(x)P（c）xP(x)上式成立，要求以下条件：（1）c为特定的个体常项；（2）取代c的x不能已在P（c）中出现过。,13,五、存在推广规则,例在实数集中，取F（x，y）：xy，并取P(3)=xF(x,3),P(3)为真命题。在使用上式，若用x取代3，则得到xF(x,x)这是假命题*其原因是违背了（2）,14,六、例题,例：找出下述推导的错误原因(a)(1)(x)A(x)S(x)P(2)A(x)S(x)US(1)错：(x)P(x)使用US规则时，P(x)是整个公式，上述公式中A(x)S(x)才是整个公式。正确：（1）(x)A(x)S(x)P（2）(x)A(x)S(y)T(1)E(换名规则)(3)A(x)S(y)US(2),15,六、例题,(b)(1)(x)(P(x)Q(x)P(2)P(a)Q(b)US(1)错：要统一全称量词消去正确：（2）P（a)Q(a)US(1)(c)(1)S(c)Q(c)P(2)xS(x)Q(x)EG（1）错：使用EG规则时，P(x)应是整个公式正确：（2）x（S(x)Q(x)）EG（1）,16,六、例题,例：给定下面2个推理,找出错误.（1）1x(F(x)G(x)P2F(y)G(y)US(1)3xF(x)P4F(y)ES(3)5G(y)T(2)(3)I6xG(x)UG(5)（2）1xyF(x,y)P2yF(z,y)US(1)3F(z,c)ES(2)4xF(x,c)UG5yxF(x,y)EG*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错,17,六、例题,希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例子。例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。”首先将命题符号化：解：F（x）：x是人。G（x）：x要死。a：张三。前提：xF(x)G(x),F(a)结论：G(a)。证明：1x(F(x)G(x)P2F(a)G(a)US(1)3F(a)P4G(a)T(2)(3)I*在本例中，没指明个体域，因而应取全总个体域。并引入特性谓词。,18,六、例题,例：人会说话，猴子不会说话，所以猴子不是人。解：设论域为全域，设M(x):x是人。S(x):x是猴子。T(x):x会说话。则前提为：x(M(x)T(x),x(S(x)T(x)结论为：x(S(x)M(x)证明：(1)x(M(x)T(x)P(2)M(y)T(y)US(1)(3)x(S(x)T(x)P(4)S(y)T(y)US(3)(5)T(y)S(y)T(4)E(6)M(y)S(y)T(2),(5)I(7)S(y)M(y)T(6)E(8)x(S(x)M(x)UG(7),19,六、例题,例：每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成员是青年人。所以有的成员是青年专家。请在谓词逻辑中证明上面推理。解：F（x）：x为学术会成员。G（x）：x是专家。H（x）：x是工人。R（x）：x是青年人。前提：x(F(x)G(x)H(x),x(F(x)R(x)结论：x(F(x)R(x)G(x)证明：1x(F(x)R(x)P2F(c)R(c)ES(1)3x(F(x)G(x)H(x)P4F(c)G(c)H(c)US(3)5F(c)T(2)I6G(c)H(c)T(4)(5)I7R(c)T(2)I8G(c)T(6)I9F(c)R(c)G(c)T(5)(7)(8)I10x(F(x)R(x)G(x)EG(9),20,六、例题,若将证明步骤改为：1x(F(x)G(x)H(x)P2F(c)G(c)H(c)US(1)3x(F(x)R(x)P4F(c)R(c)ES(3)最后也能得出结论，但此证明是错的。原因出在3，4上，2中的c不一定能满足4。*因此，若在前提中，既有存在量词公式，又有全称量词公式，应先引入存在量词规则。,21,六、例题,例：构造下面推理的证明。前提：x(F(x)H(x),x(G(x)H(x)结论：x(G(x)F(x)证明：1x(F(x)H(x)P2x(F(x)H(x)T(1)E3x(H(x)F(x)T(2)E4H(y)F(y)US(3)5x(G(x)H(x)P6G(y)H(y)US(5)7G(y)F(y)T(4)(6)I8x(G(x)F(x)UG(7),22,本课小结,US规则UG规则ES规则EG规则,23,课后作业,P79(1)补充:符号化下列命题并推证其结论。所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃荤的。（个体域为人的集合）令F(x)：x是吃素的，G(x)：x是吃荤的，H(x)：x吃豆制品。,
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