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,欢迎进入数学课堂,【课标要求】1理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程2理解秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质3理解进位制的概念，能进行不同进位制间的转化4了解进位制的程序框图和程序【核心扫描】1三种算法的原理及应用(重难点)2三种算法的框图表示及程序(难点)3不同进位制之间的相互转化(重点)4秦九韶算法中多项式的改写(易错点),1.3算法案例,辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的_的古老而有效的算法(2)辗转相除法的算法步骤第一步，给定_.第二步，计算_.第三步，_.第四步，若r0，则m、n的最大公约数等于_；否则，返回_.,自学导引,1,最大公约数,两个正整数m，n,m除以n所得的余数r,mn，nr,m,第二步,更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是_若是，用_；若不是，执行_第二步，以_的数减去_的数，接着把所得的差与_的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数_为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数任意给定两个正整数，用辗转相除法和更相减损术是否都可以求它们的最大公约数？提示是更相减损术与辗转相除法都能在有限步内结束，故均可以用来求两个正整数的最大公约数,2,偶数,2约简,第二步,较小,较小,相等,较大,秦九韶算法把一个n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式：(anxan1)xan2)xa1)xa0，求多项式的值时，首先计算_一次多项式的值，即v1_，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2_，v3_，vn_.这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求_的值,3,最内层括号内,anxan1,v1xan2,v2xan3,vn1xa0,n个一次多项式,进位制进位制是人们为了_和_而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法不同进制间的数不能比较大小，对吗？提示不对不同的进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，不同进位制的数照样可比较大小，不过一般要转化到十进制下比较大小更方便一些,4,计数,运算方便,1辗转相除法与更相减损术的区别和联系,名师点睛,秦九韶算法(1)特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可(2)算法步骤：设Pn(x)anxnan1xn1a1xa0，将其改写为Pn(x)(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0.第一步：计算最内层anxan1的值，将anxan1的值赋给一个变量v1(为方便将an赋予变量v0)；第二步：计算(anxan1)xan2的值，可以改写为v1xan2，将v1xan2的值赋给一个变量v2；,2.,依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值vk，即从最内层的括号到最外层括号的值依次赋予变量v1，v2，vk，vn，第n步所求值vnvn1xa0即为所求多项式的值(3)秦九韶算法有以下几个优点：大大减少了乘法的次数，使计算量减小在计算机上做一次乘法所需要的时间是做加法、减法的几倍到十几倍，减少做乘法的次数也就加快了计算的速度；规律性强，便于利用循环语句来实现算法；避免了对自变量x单独做幂的计算，每次都是计算一个一次多项式的值，从而可以提高计算的精度,关于进位制应注意的问题(1)十进制的原理是满十进一一个十进制正整数N可以写成an10nan110n1a1101a0100的形式，其中an，an1，a1，a0都是0至9中的数字，且an0.例如36531026105.(2)一般地，k进制数的原理是满k进一，k进制数一般在右下角处标注(k)，以示区别例如270(8)表示270是一个8进制数但十进制一般省略不写(3)在k进制中，有：有k个不同的数字符号，即0,1,2,3，(k1)；“逢k进一”，即每位数计满k后向高位进一一个k进位制的正整数就是各位数码与k的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.例如230451(k)2k53k40k34k25k1.,3,题型一求两个正整数的最大公约数,分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数思路探索使用辗转相除法可依据mnqr，反复执行直到余数为0；更相减损术则是根据mnr，反复执行，直到nr为止解法一(辗转相除法)3192611(余58)，261584(余29)，58292(余0)，所以319与261的最大公约数为29.,【例1】,法二(更相减损术)31926158，26158203，20358145，1455887，875829，582929，29290，所以319与261的最大公约数是29.,规律方法(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数若是，用2约简也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果,用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果解803628，36844,8420，即80与36的最大公约数是4.验证：80240362184022018292091111929277255233212111224所以80与36的最大公约数为4.,【变式1】,将七进制数235(7)转化为八进制解235(7)2723715124，利用除8取余法(如图所示)，所以124174(8)所以235(7)转化为八进制数为174(8),题型二进位制之间的转化,【例2】,规律方法对于非十进制数之间的互化，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数而在使用除k取余法时要注意以下几点：(1)必须除到所得的商是0为止；(2)各步所得的余数必须从下到上排列；(3)切记在所求数的右下角标明基数,把下列各数转换成十进制数(1)101101(2)；(2)2102(3)；(3)4301(6)解(1)101101(2)12502412312202145.(2)2102(3)233132265.(3)4301(6)4633621973.,【变式2】,用秦九韶算法求f(x)3x58x43x35x212x6，当x2的值,题型三秦九韶算法在多项式中的应用,【例3】,规范解答根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)(3x8)x3)x5)x12)x6，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x2时的值(2分)v03，v1v02832814，(4分)v2v123142325，(6分)v3v225252555，(8分)v4v321255212122，v5v42612226238，(10分)所以当x2时，多项式的值为238.(12分),【题后反思】(1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可这样比直接将x2代入原式大大减少了计算量若用计算机计算，则可提高运算效率(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0xn.,用秦九韶算法计算f(x)6x54x4x32x29x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A5,4B5,5C4,4D4,5解析n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为514.故选D.答案D,【变式3】,已知f(x)x52x43x34x25x6，用秦九韶算法求这个多项式当x2时的值时，做了几次乘法？几次加法？错解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式f(x)(x2)x3)x4)x5)x6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x2时的值：v1224；v22v1311；v32v2426；v42v3557；v52v46120.显然，在v1中未做乘法，只做了1次加法；在v2，v3，v4，v5中各做了1次加法，1次乘法因此，共做了4次乘法，5次加法,误区警示对秦九韶算法中的运算次数理解错误,【示例】,在v1中虽然“v1224”，而计算机还是做了1次乘法“v12124”因为用秦九韶算法计算多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0当xx0时的值时，首先将多项式改写成f(x)(anxan1)xa1)xa0，然后再计算v1anxan1，v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.无论an是不是1，这次的乘法都是要进行的正解由上分析可知，共做了5次乘法，5次加法,单击此处进入活页规范训练,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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