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,二、函数的极限的性质,一、函数极限的定义,2.2 函数的极限,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、函数极限的定义,如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作,函数极限的的通俗定义,下页,1.自变量趋于有限值时函数的极限,分析: 当xx0时 f(x)A 当|x-x0|0时 |f(x)-A|0 当|x-x0|小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e 任给e 0 存在d 0 使当|x-x0|d 时 有|f(x)-A|e,设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A 对于任意给定的正数 总存在正数 使得当x满足不等式0|xx0| 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)A| 那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为,函数极限的精确定义,定义的简记形式,e 0 d 0 当0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,下页,函数极限的几何意义,当0|x-x0|d 时 |f(x)-A|e :,e 0:,d 0:,下页,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,例1,证明 因为e0 d0 当0|x-x0|d 时, 都有 |f(x)-A|c-c|0e ,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,下页,分析:,|f(x)-A|c-c|0.,e0,d0,当0|x-x0|d 时, 都有|f(x)-A|e .,分析,|f(x)A|xx0|e,当0|xx0|d 时 有,d e,因为e 0,证明,只要|xx0|e .,要使|f(x)A|e,e 0,例2,|f(x)A|xx0|,下页,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,分析,|f(x)A|(2x1)1|2|x1|,例3,因为 0,证明,|f(x)A|(2x1)1|2|x1|e ,下页,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,e 0,当0|x1| 时 有, /2,只要|x1|e /2,要使|f(x)A|e,分析,注意函数在x=1是没有定义的 但这与函数在该点是否有极限并无关系,证明,因为e 0, =e,当0|x1|d 时 有,例4,下页,分析,e 0,只要|x1|e ,要使|f(x)A|e,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,证明,下页,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,例5,证明,下页,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,例6,注:,单侧极限,下页,xx0表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0 , xx0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0 .,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|e ,精确定义,单侧极限,e0 d0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|e ,类似地可定义右极限.,结论,精确定义,下页,这是因为,下页,类似地可定义,如果当|x|无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为,下页,2.自变量趋于无穷大时函数的极限, 0 X0 当|x|X时 有|f(x)A| ,精确定义,结论, 0 X0 当|x|X时 有|f(x)A| ,极限的定义的几何意义, 0:,X0:,当|x|X时 有|f(x)-A|e:,水平渐近线,水平渐近线,下页,分析,例6,证明, 0 X0 当|x|X时 有|f(x)A| ,首页,二、函数极限的性质,定理1(函数极限的唯一性),定理2(函数极限的局部有界性),如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界,定理3(函数极限的局部保号性),如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心邻域内 有f(x)0(或f(x)0),如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的,如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0),推论,下页,定理4(函数极限与数列极限的关系),如果当xx0时f(x)的极限存在 xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且满足xn x0(nN) 那么相应的函数值数列f(xn)必收敛 且,结束,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB,推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 limcf(x)=climf(x),推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 limf(x)n=limf(x)n ,定理5(四则运算法则) 自变量的同一变化过程中，若lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,下页,收敛函数的运算法则,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,求极限举例,讨论,提示,例1,解,下页,例2,解,提问,解,例3,下页,提问,定理6(复合函数的极限运算法则),结束,设函数yf(x)是由函数yf(u)与函数u(x)复合而成 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若(x)a(xx0) f(u)A(ua) 且在x0的某去心邻域内(x)a 则,例9,解,复合函数无极限的例子,
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