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,欢迎进入数学课堂,2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系,1.了解直线与平面的位置关系,并学会用符号和图形表示它们.2.了解两个平面有相交和平行两种位置关系,会用图形表示它们.,1.直线和平面的位置关系(完成下表,a=A,2.两个平面的位置关系(完成下表),无公共点,1.空间中直线与平面位置关系的分类直线与平面的位置关系有且只有三种:按公共点个数分类直线和平面平行,直线和平面不平行直线和平面相交.直线在平面内.,按是否在平面内分类直线在平面内,直线在平面外直线和平面相交,直线和平面平行.,2.两个平面位置关系的画法(1)两个平行平面的画法画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行,如图(a).(2)两个相交平面的画法先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(b).再画出表示两个平面交线的线段,如图(c).过图(c)中线段的端点分别引线段,使它们平行于图(c)中表示交线的线段,如图(d).,画出图(d)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住的线,可以画成虚线,也可以不画),如图(e).,3.特别提醒(1)在解答直线与平面的有关问题时,要想像所有可能情况,思考要全面.(2)平行平面具有传递性,即,.(3)本节内容可以以长方体为模型,抽象出直线与平面,平面与平面的位置关系.,题型一空间图形的画法,例1:分别按下列条件画出直观图.(1)ab=P,a平面,b平面=A;(2)平面平面=l,a平面=A,a平面.解:根据题设及平面图形直观图的画法,得直观图如下图所示.,变式训练1:完成下列作图.(1)在图中画出两个平行平面;,答案：,(2)在图中画出两个相交平面;,答案：,(3)在图中画出三个平行平面;,答案：,(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交;,答案：,(5)在图中分别画出三个两两相交的平面.,答案：,题型二直线与平面间的位置关系,例2:下列命题中正确命题的个数为()直线l平行于平面内的无数条直线,则l;若直线a在平面外,则a;若直线ab,直线b,则a;若直线ab,b平面,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4答案:A,解析:对于,直线l虽与平面内无数条直线平行,但l有可能在平面内(若改为平面外的直线l与内无数条直线都平行,则必有l),是假命题.对于,直线a在平面外,包括两种情况a和a与相交,a与不一定平行,为假命题.对于,ab,b,只能说明a与b无公共点,但a可能在平面内,a不一定平行于平面,也是假命题.对于,ab,b.那么a,或a.a可以与平面内的无数条直线平行,是真命题.综上,真命题的个数为1.,规律技巧:解答本题关键在于两点:(1)弄清概念;(2)要有一定的空间想象能力.,变式训练2:过平面外两点作该平面的平行平面,可以作()A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个解析:当这两点的连线不与平面平行时,过这两点不存在与已知平面平行的平面.当这两点的连线与已知平面平行时,能作一个平面与已知平面平行,故选C.答案:C,题型三直线与平面相交的判定,例3:求证:两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条也与该平面相交.已知:直线ab,a=P,求证:直线b与平面相交.,证明:如上图所示,ab,a与b确定一个平面,设为.a=P.平面和平面相交于过点P的一条直线l.在平面内l与两条平行线a,b中一条直线a相交.l必与b相交于Q,即bl=Q,又.b与平面相交.,规律技巧:证明直线与平面相交的方法有:(1)反证法,即否定直线在平面内,否定直线与平面平行,然后一一推出矛盾.(2)证明直线与平面只有一个公共点.,变式训练3:如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相交.已知:a=A,Ba,B.求证:直线a与平面相交.,证明:如下图所示,假设直线a与平面不相交.即a或a.若a,这与已知a=A相矛盾.若a,这与Ba,B相矛盾.假设不成立.直线a与平面相交.,易错探究例4:如图,在长方体ABCDA1B1C1D1的面A1C1上有一点P(PB1D1),过P点在平面A1C1上作一直线l,使l与直线BD成角,这样的直线l有()A.1条B.2条C.1条或2条D.无数条,错解:因为BDB1D1,所以l与B1D1所成的角,就是l与BD所成的角.在平面A1C1内以P为顶点,底边在B1D1上作一个等腰三角形,使底角为,则两腰所在直线就与B1D1成等角,所以这样的直线有两条.应选B.答案:B,错因分析:错解中受定势思维的影响,只考虑了时的一般情况,而忽略了特殊情况.当时,这样的直线只有一条.,正解:(1),答案:C,基础强化1.ab,且a与平面相交,那么直线b与平面的位置关系是()A.必相交B.有可能平行C.相交或平行D.相交或在平面内答案:A,2.若三个平面两两相交,则它们交线的条数是()A.1B.2C.3D.1或3答案:D,3.若两个平面平行,则分别在这两个平行平面内的直线()A.平行B.异面C.相交D.平行或异面答案:D,4.已知直线a平面,直线b,则a与b的关系是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面答案:D,5.过平面外一点,可作这个平面的平行线的条数是()A.1条B.2条C.无数条D.很多但有限答案:C,6.如果直线a平行于平面,则()A.平面内有且只有一条直线与a平行B.平面内有无数条直线与a平行C.平面内不存在与a平行的直线D.平面内的任意直线与直线a都平行答案:B,7.已知m,n为异面直线,m平面,n平面,=l.则l()A.与m,n都相交B.与m,n中至少一条相交C.与m,n都不相交D.至多与m,n中的一条相交答案:B,8.简述结论,并画图说明.直线a在平面内,直线b与直线a相交,则直线b与平面的位置关系如何?,解:直线b与平面的位置关系有两种:b,b=A.,能力提升,9.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直线与各个面所在平面的关系.,解:B1C所在直线与各面所在平面的关系是:B1C在平面BB1C1C内,B1C平面AA1D1D.与平面ABB1A1平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.直线D1B与各个面都相交.,10.求证:过平面内一点,作平面内一直线的平行线必在此平面内.证明:设点A平面,a平面,Aa,过点A存在直线ba.设a,b确定的平面为,则A,且a.平面都是由点A和直线a确定的平面.与重合,b,故结论成立.,11.(湖北高考)已知a,b,c是直线,是平面,给出下列命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;a,b,则ab;若ab异面,且a,则b与相交;若ab异面,则至多有一条直线与ab都垂直.,其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:仅为真命题.答案:A,12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF分别为棱AA1CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1EFCD都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条解析:过直线A1D1可做无数个平面与直线EF、CD相交,则其交点的连线必与直线A1D1相交,故可以有无数条直线与三条直线同时相交.答案:D,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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