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,欢迎进入数学课堂,归纳推理,案例：,1.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。,2.三角形内角和是180，凸四边形内角和是360=2180，凸五边形内角和是540=3180,由此我们猜想：凸n边形内角和是(n-2)180,这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳),2.归纳推理的过程,实验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,1.归纳推理的概念,例1：,已知数列an的每一项均为正数，a1=1，,试归纳出数列an的一个通项公式.,归纳推理的几个特点;,1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.,2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性,需要经过逻辑证明和实践检验.,3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.,归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.,类比推理,一、案例：,1.春秋鲁国的工匠公输班（鲁班）类比带齿的草叶,发明了锯子.,2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.,3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.,科学家猜想：火星上也可能有生命存在.,4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.,例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质,等式,不等式,(1),(2),(3),圆的性质,球的性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,经过切点且垂直于切面的直线必经过球心,利用圆的性质类比得出球的性质,圆的切线垂直于经过切点的半径,经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,球的切面垂直于经过切点的半径,经过球心且垂直于切面的直线必经过切点,经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,例2：,2.类比推理的思维过程,观察、比较,联想、类推,猜测新的结论,1.类比推理的概念,根据两个（两类）事物之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同,像这样的推理称为类比推理.(简称：类比法),二、合情推理,先根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想;再进行归纳、类比;然后提出猜想的推理.统称为合情推理.,1.合情推理的概念,2.合情推理的过程,从具体问题出发,观察、分析比较、联想,归纳类比,提出猜想,数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.,3.合情推理的作用,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠.,说明:,归纳推理与类比推理的区别,合情推理,归纳推理,类比推理,由部分到整体,个别到一般的推理,由特殊到特殊的推理,结论不一定正确，有待进一步证明,演绎推理,18,案例：,（1）观察1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,由上述具体事实能得到怎样的结论？,（2）在平面内，若ac，bc，则a/b.类比地推广到空间，你会得到什么结论？并判断正误.,归纳推理,类比推理,19,完成下列推理，,1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,所以铜能够导电.,因为铜是金属,所以2007不能被2整除.,因为2007是奇数,一般性的原理,特殊情况,结论,一般性的原理,特殊情况,结论,它们是合情推理吗？,它们有什么特点？,案例：,20,从一般性的命题推演出特殊命题的推理方法称为演绎推理,1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,所以铜能够导电.,因为铜是金属,所以2007不能被2整除.,因为2007是奇数,一般性的原理,特殊情况,结论,一般性的原理,特殊情况,结论,案例分析：,21,从一般性的命题推演出特殊命题的推理方法称为演绎推理,1.所有的金属都能导电,所以铜能够导电.,因为铜是金属,大前提,小前提,结论,一般性的原理,特殊情况,结论,案例分析：,（1）演绎推理的主要形式：三段论式推理,（2）三段论式推理常用格式：,注：,MP(M是P),SM(S是M),SP(S是P),大前提,小前提,结论,“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:,大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断.,(1).“三段论”的一般模式,(2).“三段论”的表示,大前提:M是P.小前提:S是M.结论:S是P.,23,(1)应用“三段论”解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.,说明:,(2)应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误.,在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.,注意:,24,二次函数的图象是一条抛物线,例1完成下面的推理过程“函数y=x2+x+1的图象是.”,函数y=x2+x+1是二次函数,函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线.,大前提,小前提,结论,解：,一条抛物线,P,S,试将其恢复成完整的三段论,25,练1分析下列推理是否正确，说明为什么？,(1)自然数是整数，,3是自然数，,3是整数.,大前提错误,推理形式错误,小前提错误,26,思考,所以菱形是正多边形,因大前提是错误的(因为所有边长都相等,内角也相等的凸多边形才是正多边形),所以所得的结论是错误的.,(1)上面的推理形式正确吗?(2)推理的结论正确吗?为什么?,因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,大前提,而菱形是所有边长都相等的凸多边形,小前提,结论,例:,正确,错误,27,合情推理与演绎推理的区别,合情推理,归纳推理,类比推理,由部分到整体,个别到一般的推理,由特殊到特殊的推理,结论不一定正确，有待进一步证明,演绎推理,由一般到特殊的推理,在前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确,合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的,28,小结：,演绎推理的一般模式三段论.,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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