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,欢迎进入数学课堂,23映射,学习导航学习目标重点难点重点：映射的概念，原像与像的计算难点：用映射的概念解释函数的概念,1映射(1)映射的含义两个_集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的_元素x，B中总有_的一个元素y与它对应，则称这样的对应为从A到B的映射，记作_.,非空,每一个,唯一,f：AB,(2)像与原像的概念在映射f：AB中,_称为原像,_称为x的像,记作_.(3)一一映射f：AB的概念一一映射是一种特殊的映射，它满足：A中每一个元素在B中都有_与之对应A中的_元素的像也不同B中的每一个元素都有_,A中的元素x,B中的对应元素y,f：xy,唯一的像,不同,原像,想一想1.形成映射的两个集合A、B必须是数集吗？提示：A、B可以是非空的任意集合，数集、点集或其它集合都可以2从A到B的映射f：AB，B中的元素必须有原像吗？提示：B中的元素可以没原像，也可以有唯一的一个原像，也可以有多个原像,2函数与映射_是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，函数概念可以叙述为：设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：AB就叫作A到B的函数,函数,做一做1.在映射f：AB中，AB(x，y)|x，yR，且f：(x，y)(xy，xy)，则与A中的元素(1,2)对应的B中的元素为()A(3,1)B(1,3)C(1，3)D(3,1)解析：选A.由所给的x1，y2可知xy3；xy1.,2下列各图表示的是从集合A到集合B的对应，其中哪些是映射？哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？,解：(1)是映射，也是一一映射和函数，因为集合A，B都是非空数集，且是“一对一”的对应方式(2)是映射，且是函数，但不是一一映射，因为集合B中的元素1的原像不是唯一的(3)不是映射，更不是一一映射或者函数，因为集合A中的元素0在集合B中有两个对应元素1和1.(4)是映射，且是一一映射，但不是函数，因为集合A，B不是数集,题型一映射、一一映射、函数的判断判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？,(1)AR，B非负实数，对应关系f：yx2，xA，yB.(2)AR，B正实数，对应关系f：yx2,xA，yB.(3)AxR|x0，BR，对应关系f：A中的元素对应它的平方根(4)Ax|x2，By|yx24x3，f：yx3，xA，yB.,【解】(1)是映射，且是函数，但不是一一映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应，又A、B均为非空数集，所以此映射是函数，因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射因为A中的元素0，在集合B中没有对应的元素,(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射，因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应(4)当x2时，x31，而yx24x3(x2)211，因而能构成映射，且是函数，并且B中每一个元素在A中都有唯一的一个原像，所以又是一一映射,【方法小结】(1)两个集合之间只有一对一，多对一才是映射，其中一对一为一一映射(2)并非所有映射都是函数，只有集合A、B都是非空数集时，映射才是函数,变式训练,解析：选B.在A中，当x3时，|x3|0，而0B，于是A中有一元素3在B中没有元素和它对应，故不是函数；在C中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是函数；在D中，集合A中的元素0，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是函数只有B项符合定义，故选B.,题型二像与原像的对应已知映射f：AB(x，y)|xR，yR，f：A中元素(x，y)对应B中元素(3x2y1,4x3y1)，(1)求A中(1，2)的像；(2)求B中(1,2)的原像；(3)是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若有，求出这个元素,【名师点睛】(1)解答此类问题的关键是：分清原像和像；搞清楚由原像到像的对应关系；(2)对A中元素，求像只需将原像代入对应关系即可，对于B中元素求原像，可先设出它的原像,然后利用对应关系列出方程组求解.,变式训练2已知(x，y)在映射f作用下的像是(xy，xy)(1)(2,3)在f作用下的像是_；(2)若在f作用下的像是(2，3)，则它的原像是_解析：(1)(2,3)在映射f作用下的像是(23，23)，即(1，6),答案：(1)(1，6)(2)(3，1)或(1,3),题型三映射或函数的个数已知A1,2,3,4，B5,6，取适当的对应法则(1)以集合A为定义域、B为值域(注意：值域为B.而不是B的子集，即B中元素都有原像)的函数有多少个？(2)在所有以集合A为定义域、B为值域的函数中，满足条件f(1)f(2)f(3)f(4)的函数有多少个？,【思路点拨】根据函数的定义可用列举法探索解题思路【解】(1)根据映射与函数的定义，集合A中的元素均可与B中的两个元素对应，故从A到B可建立2416个函数(审题可要慎之又慎噢！)，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B，应予以排除，所以以集合A为定义域、B为值域的函数有14个.,(2)在上述14个函数中，满足条件f(1)f(2)f(3)f(4)的函数具体为：(含义：对应的像由小到大排列)f(1)5，f(2)f(3)f(4)6；f(1)f(2)5，f(3)f(4)6；f(1)f(2)f(3)5，f(4)6.(使用一一列举法)所以满足条件的函数共有3个,【思维总结】A中有m个元素，B中有n个元素f：AB的映射个数为nm个变式训练3(1)已知Aa，b，B1,2，用图示法表示所有从集合A到集合B的映射这样的映射共有多少个？(2)若Aa，b，c，B1,2，从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射？从集合B到集合A呢？,解：(1)依据映射定义，从集合A到集合B的映射有：224(个)，如图(2)Aa，b，c，B1,2，则从A到B的映射共有：238(个)反过来从B到A的映射共有：329(个),1已知集合A1,2,3,4,5,6，集合B1,1,3,5,7,9,集合C8，2,4,10,16,22，对应关系f为“乘2减3”，对应关系g为“乘3减5”，对应关系h为“先乘2减3，再将所得结果乘3减5”，分别求下列映射所对应的函数表达式,(1)映射f：AB；(2)映射g：BC；(3)映射h：AC.解：(1)由题意知yf(x)，函数表达式为y2x3.(2)由题意知yg(x)，函数表达式为y3x5.(3)由题意得yh(x)gf(x)，,gf(x)3f(x)53(2x3)56x14,函数表达式为y6x14.2(2012西安质检)已知Aa，b，c，B1，0,1，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)，求映射f：AB的个数解：(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)f(b)000f(c)有1个映射,(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为101,011，(1)01,0(1)1.(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有2个映射,分别是(1)10,1(1)0.因此满足题设条件的映射有7个,方法技巧1映射的概念：(1),(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系说其是一种特殊的对应，是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应2在求像与原像问题上，有解析式的只要列出方程即可解得，要特别注意有图表情况的，要找好对应关系即可解得,失误防范1一一映射与映射的区别,2.映射与函数的区别,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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