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,欢迎进入数学课堂,3.2.2直线的两点式方程,1.了解由直线方程的点斜式推导出两点式方程及截距式方程.2.初步学会用直线方程的知识解决有关实际问题.,1.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2),则直线l的斜率为k=_,代入点斜式方程,得_,当y1y2时,方程可以写成_,这个方程是由直线上两个点确定的,所以叫做直线的_方程.,两点式,2.若直线与x轴的交点为(a,0)(a0),与y轴的交点为(0,b)(b0),则直线的方程为_,这个方程由直线与坐标轴的截距确定,所以叫做直线的_方程.,截距式,1.直线的两点式方程如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2,且y1y2),则直线l的斜率为由直线的点斜式方程得,若x1=x2,知P1P2与x轴垂直,此时的直线l的方程为x=x1.若y1=y2,知P1P2与y轴垂直,此时的直线l的方程为y=y1.另外,我们也可以按下面的思路推导.,说明:直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线,若将方程化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则可表示经过这两个点的所有直线.,2.直线的截距式方程直线的截距式方程是两点式的特殊情形,此时两点的坐标为(a,0)和(0,b)(ab0),此时方程的形式为截距式方程在画直线时非常方便.,说明:直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线.,题型一直线的两点式方程,例1:已知三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三角形的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的方程.,分析:求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的适用范围.,解:如右图,直线AC过点A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得整理可得2x+5y-6=0,这就是所求直线AC的方程.直线AB经过A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等,可知其方程为y=2,这就是所求直线AB的方程.,直线BC经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等,可知其方程为x=3,这就是所求直线BC的方程.由于A(-2,2),C(3,0),kAC=由AC边上的高线与AC垂直,设其斜率为k,则kkAC=-1,得根据直线的点斜式方程,得y-2=(x-3),即5x-2y-11=0,这就是所求的AC边上的高线所在直线的方程.,规律技巧:当直线与坐标轴平行或重合时,不能用两点式,应作特殊处理.,变式训练1:已知两点A(3,2),B(8,12).(1)求出直线AB的方程;(2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值.,解:(1)由直线的两点式方程得即为2x-y-4=0,这就是直线AB的方程.(2)点C(-2,a)在直线AB上,2(-2)-a-4=0.a=-8.,题型二直线的截距式方程,例2:直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,求直线l的方程.,分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因为截距可正,可负,可为零,所以应分b=0和b0两种情况解答.,解:(1)当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx,直线l过点P(-6,3).3=-6k,k=-.直线l的方程为y=-x,即x+2y=0.,(2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程为又直线l过点P(-6,3),解得b=1.直线l的方程为+y=1.即x+3y-3=0.综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.,变式训练2:根据条件,求下列各题中直线的截距式方程.(1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2;(2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4.,题型三直线方程的应用,例3:求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为-2的直线方程.,分析:依题意知,截距不为0,故可设出直线的截距式方程,利用待定系数法求解.,规律技巧:求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式,由于本题涉及到直线在两坐标上的截距,因此设出了直线的截距式方程.,变式训练3:求与两坐标围成的三角形面积为32,且斜率为-4的直线l的方程.,易错探究,例4:已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.,错解:错解1:由于直线l的截距相等,故直线l的斜率为1.若k=1,则直线方程为:y+2=x-3,即为x-y-5=0;若k=-1,则直线方程为:y+2=-(x-3),即为x+y-1=0.,错解2:由题意,直线在两轴上的截距相等,可设直线的方程为:由于直线过点(3,-2),则有所以a=1.即所求的方程为x+y-1=0.,错因分析:在上述两种错解中,错解1忽视了截距的意义,截距不是距离,它可正可负,也可以为0.当k=1时,直线x-y-5=0在两轴上的截距分别为5和-5,它们是不相等的.另外,这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形;错解2中,没有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解.,正解:解法1:依题意,直线l的斜率存在且不为0,设其斜率为k,则可得直线的方程为:y+2=k(x-3).令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得由题意得-2-3k=3+解得k=-1,或k=-所以l的方程为:y+2=-(x-3),或y+2=-(x-3).即为x+y-1=0,或2x+3y=0.,解法2:设直线l在两轴上的截距均为a.(1)若a=0,则直线l过原点,此时l的方程为:2x+3y=0;(2)若a0,则l的方程可设为:因为l过点(3,-2),知=1,即a=1.所以直线l的方程为x+y=1,即为x+y-1=0.综合(1)(2)可知:直线l的方程为2x+3y=0,或x+y-1=0.,基础强化1.过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是()A.x=5B.y=2C.x=2D.x+y=2,答案:C,2.在x,y轴上截距分别为4,-3的直线方程是(),答案:A,3.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是()C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0,答案:C,4.直线ax+by=1与两坐标轴围成的三角形的面积是(),答案:D,5.直线ax-y+a=0(a0)在两坐标轴上截距之和是()A.a-1B.1-aC.a+1D.,解析:令x=0,得y=a.令y=0,得x=-1,故直线在两坐标轴上截距之和为a-1.,答案:A,6.过(3,0)点与x轴垂直的直线方程为_,纵截距为-2且与y轴垂直的直线方程为_.,x=3,y=-2,7.过(5,7)及(1,3)两点的直线方程为_,若点(a,12)在此直线上,则a=_.,解析:过点(5,7)及(1,3)两点的直线方程为即x-y+2=0.点(a,12)在x-y+2=0上,a-12+2=0.a=10.,x-y+2=0,10,8.已知直线l的斜率为6.且在两坐标轴上的截距之和为10,求此直线l的方程.,解法1:设直线方程为y=6x+b,令x=0,得y=b,令y=0得由题意=10.b=12.所以所求直线方程为6x-y+12=0.,能力提升9.求斜率为且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线l的方程.,10.已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,且在两坐标轴上的截距之和为5,求这样的直线有几条?,11.(安徽文4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程为()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0,解析:所求直线可设为x-2y+c=0.过点(1,0),1+c=0,c=-1.所求直线为x-2y-1=0.,答案:A,12.(上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是()A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2,解析:当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0.显然平行;验证当k=1时,l1:-2x+3y+1=0,l2:-4x-2y+3=0,显然不平行.因此,选C.,答案:C,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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