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,欢迎进入数学课堂,第二章矩阵复习课,主要内容典型例题自测题,回章目录,本章知识结构图,回章目录,矩阵的定义,由个数,排成的行列的数表,称为矩阵的第i行j列的元素.,元素为实数的称为实矩阵,元素为复数的称为复矩阵.,2.几种特殊矩阵,元素全为零的矩阵，记为:O或,零矩阵:,行矩阵:,只有一行的矩阵。,列矩阵:,只有一列的矩阵。,方阵:,行数列数皆相等的矩阵。,上三角方阵:,非零元素只可能在主对角线及其上方。,下三角方阵:,非零元素只可能在主对角线及其下方.,对角方阵:,数量矩阵:,单位方阵:,主对角线上全为1的对角方阵.,3.矩阵的运算,同型矩阵:,行数和列数均相等的矩阵.,如果两个矩阵是同型矩,阵,且各对应元素也相同,即,则称矩阵相等,记作,两个矩阵的和,矩阵的和:,矩阵相等:,定义为,矩阵的数乘:,定义为,矩阵的线性运算的运算规律:,矩阵相乘:,矩阵乘法的运算规律,（其中为数）;,n阶方阵的幂:,若A是阶矩阵，定义为A的次幂,为正整数，,易证,转置矩阵:,转置矩阵的运算性质,对称阵:,设为阶方阵，如果满足，即.,则称为对称阵.,反对称阵:,伴随方阵:,余子式,称方阵,为方阵的伴随方阵.,回章目录,4.方阵的行列式,由阶方阵的各元素按原位置排列构成的,行列式，叫做方阵的行列式，记作或,运算性质,5.逆矩阵,对于阶矩阵，如果存在阶矩阵,使得,则称为可逆矩阵，是的逆方阵。,定义,可逆,相关定理及性质,6.分块矩阵,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似,回章目录,典型例题,一、矩阵的运算二、有关逆矩阵的运算及证明三、矩阵方程及其求解方法,回章目录,一、矩阵的运算,矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率.,例1,注：对一般的阶方阵，我们常常用归纳的方法求.,例2,解:,例3,若阶实对称阵满足,证明,证:为对称阵,故有,因此有,比较两端的元素,由于为实数,故即,二、有关逆矩阵的运算及证明,1.利用定义求逆阵,利用定义求阶方阵逆阵，即找或猜或凑一个,阶方阵，使或，从而.,例4,例4,2.利用伴随矩阵求逆阵,例5,注：对2阶数字方阵求逆一般,都用来做，既简便又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用求其逆阵，因为若用去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下章所介绍的初等变换法.,回章目录,3.利用分块矩阵求逆阵,例6,从而,4.利用定义证明某一矩阵为矩阵的逆阵,例7,注：1.矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括：,证明矩阵可逆；求逆阵；证明矩阵是矩,2.证明矩阵A可逆，可利用A的行列式不为零或找一个矩阵B，使AB=E或BA=E等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用A*(如2阶矩阵)或初等变换(3阶及3阶以上的方阵)的方法来做，有时也利用分块矩阵来做.对抽象的矩阵A，若求其逆，一般是用定义或A*来做；证明矩阵B是矩阵A的逆阵，只需验证AB=E或BA=E即可.,阵的逆阵.,三.矩阵方程及其求解方法,矩阵方程,解,例8,以及及，再求及就麻烦多了.因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程.,例9,注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求,回章目录,第二章自测题,一、填空题(8分/题),3)已知,二.证明题(26分),自测题答案,1)3,1/3,9,-1/3;,2)4;,3)0;,一.,三.,回章目录,结束放映,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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