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,欢迎进入数学课堂,函数值域的求法,一、配方法,形如y=af2(x)+bf(x)+c(a0)的函数常用配方法求函数的值域,要注意f(x)的取值范围.,例1(1)求函数y=x2+2x+3在下面给定闭区间上的值域:,二、换元法,通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).,例2求下列函数的值域:,-4,-3;-4,1;-2,1;0,1.,6,11;,2,11;,2,6;,3,6.,三、判别式法,例6求下列函数的值域:,-1,1,4,+),能转化为A(y)x2+B(y)x+C(y)=0的函数常用判别式法求函数的值域.,1.求下列函数的值域:,值域课堂练习题,(1)(-,3)(3,+),(2)(-,4,(4)3,+),(8)-1,+),解:f(x)的定义域为R,mx2+8x+n0恒成立.,=64-4mn0.,则1y9.,变形得(m-y)x2+8x+(n-y)=0,当my时,xR,=64-4(m-y)(n-y)0.,整理得y2-(m+n)y+mn-160.,解得m=5,n=5.,当m=y时,方程即为8x+n-m=0,这时m=n=5满足条件.,故所求m与n的值均为5.,求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。,例1求函数,如图，y-3/4,3/2.,分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。,例2求函数,分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。,解法1：由函数知定义域为R,则变形可得：(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故1/2.当2y-10,即y1/2时，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)0得3/10y1/2,综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2.,例3求下列函数的值域：（1）y=5-x+3x-1；,分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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