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,欢迎进入数学课堂,第6讲不等式的证明,常用的证明不等式的方法,(1)比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件,综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.,(3)分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程,(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设AB，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定AB.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法,(5)放缩法：要证明不等式A0，且a1，若Ploga(a31)，Qloga(a21)，,则P与Q的大小关系为(,),A,APQ,BPQ,CPQ,Abc时，前两项为正，最后一项为负，如何使得三项之和为正，成为问题的关键，需采用“拆”的技巧，把第三项并入前两项中去，于是想到ca(ca)ca(cb)(ba)ca(cb)ca(ba)，问题便迎刃而解证明：左一右ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(bc)ca(cb)(ba)a(ab)(bc)c(bc)(ba)(ab)(bc)(ac),例1：已知：abc，求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2.,abc，(ab)(bc)(ca)0.因此：a2bb2cc2aab2bc2ca2.,比较法证不等式步骤可归纳为：,第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完,全平方式或常数的形式,第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论,【互动探究】,证明：ab1，,ax2by2(axby)2ax2by2a2x22abxyb2y2a(1a)x2b(1b)y22abxyabx2bay22abxyab(xy)2.,又a、bR+，ab(xy)20.ax2by2(axby)2.,考点2,综合法,【互动探究】,1b1a,考点3,反证法,例3：已知a0，b0，且ab2.求证：,1ba,，,1ab,中至少,解题思路：由于题目结论是：至少有一个小于2，情况较复杂，讨论起来比较繁，宜采用反证法,证明：假设,1ba,，,1ab,都不小于2，则,1ba,2，,1ab,2.,a0，b0，1b2a,1a2b，两式相加可得1b1a2(ab)，即ab2，这与已知ab2矛盾故假设不成立,因此：,，,ab,，中至少有一个小于2.,有一个小于2.,从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设AB，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定AB，凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法,【互动探究】3若00Cac1,Bac1Dacf(c)，不成立，故01，由f(a)f(c)得：lgalgc，即lgac0，0acf(b)，则下列结,2数学归纳法：当不等式是一个与自然数n有关的命题，可以利用数学归纳法进行证明3构造法：在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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