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第八章专题拓展8.1观察归纳型,中考数学(河南专用),一、选择题1.(2016四川达州,8,3分)如图,将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形,称为第一次操作;然后,将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到7个小三角形,称为第二次操作;再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到10个小三角形,称为第三次操作;根据以上操作,若要得到100个小三角形,则需要操作的次数是()A.25B.33C.34D.50,好题精练,答案B因为第一次操作后,三角形共有4个,第二次操作后,三角形共有4+3=7个;第三次操作后,三角形共有4+3+3=10个;所以第n次操作后,三角形共有4+3(n-1)=(3n+1)个.当3n+1=100时,解得n=33.故选B.,思路分析本题属于图形变化类规律探究,结合文字阅读和图形将图形变化类规律探究转化为数字类规律探究是解决问题的关键.第一次操作后,三角形共有4个,第二次操作后,三角形共有7个,第三次操作后,三角形共有10个,观察数字4、7、10之间的变化,不难发现每次增加3个,即4=4+30,7=4+31,10=4+32,再横向与操作次数比较,可以发现第n次操作后三角形共有4+3(n-1)=(3n+1)个,根据题意得3n+1=100,求得n的值即可.,2.(2016重庆,10,4分)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第个图形中一共有4个小圆圈,第个图形中一共有10个小圆圈,第个图形中一共有19个小圆圈,按此规律排列下去,第个图形中小圆圈的个数为()A.64B.77C.80D.85,答案D通过观察,第个图形中小圆圈的个数为+12=4,第个图形中小圆圈的个数为+22=10,第个图形中小圆圈的个数为+32=19,第个图形中小圆圈的个数为+42=31,依此类推,第个图形中小圆圈的个数为+n2,当n=7时,+72=85,故第个图形中小圆圈的个数为85.故选D.,3.(2015浙江宁波,10,4分)如图,将ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A1处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再将ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015.若h1=1,则h2015的值为()A.B.C.1-D.2-,答案D根据题意得DE是ABC的中位线,D1E1是ADE的中位线,D2E2是AD1E1的中位线,h2=1+=2-,h3=1+=2-,h4=1+=2-,h2015=1+=2-.故选D.,评析本题为探索规律题,主要考查折叠的性质及三角形中位线的性质等.,4.(2014重庆,11,4分)如图,下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面积为1的正方形有2个,第(2)个图形中面积为1的正方形有5个,第(3)个图形中面积为1的正方形有9个,按此规律,则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为()A.20B.27C.35D.40,答案B第(1)个图形中面积为1的正方形有2个,第(2)个图形中面积为1的正方形有2+3=5个,第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个,按此规律,第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+(n+1)=个,则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为=27.故选B.,评析本题考查了图形的变化规律.探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.解决这类问题的基本思路是通过观察、分析若干特殊情形,归纳总结出一般性结论,然后验证结论的正确性.,5.(2016广西南宁,18,3分)观察下列等式:第1层1+2=3第2层4+5+6=7+8第3层9+10+11+12=13+14+15第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24在上述数字宝塔中,从上往下数,2016在第层.,二、填空题,答案44,解析因为每层的第一个数都是层数的平方,所以第44层的第一个数是442=1936,第45层的第一个数是452=2025,因为193620162025,所以2016在第44层.,6.(2016河北,19,4分)如图,已知AOB=7,一条光线从点A发出后射向OB边.若光线与OB边垂直,则光线沿原路返回到点A,此时A=90-7=83.当A83时,光线射到OB边上的点A1后,经OB反射到线段AO上的点A2,易知1=2.若A1A2AO,光线又会沿A2A1A原路返回到点A,此时A=.若光线从点A发出后,经若干次反射能沿原路返回到点A,则锐角A的最小值=.,答案76;6,解析由题图可知1=2=90-O=83,AA1A2=180-1-2=14,A=90-AA1A2=90-14=76.设光线从点A发出后,经n次反射能沿原路返回到点A,记光线自A(A0)发出后与边的交点依次为A1,A2,A3,An,即An-1AnO=90,则AnAn-1An-2=14,An-3An-2An-1=28,An-4An-3An-2=42,依次为14的n倍(n=1,2,3,),21=180-14n,即1=90-7n,A=1-7=83-7n,当n=11时,A最小,为6.,7.(2014江苏扬州,18,3分)设a1,a2,a2014是从1,0,-1这三个数中取值的一列数,若a1+a2+a2014=69,(a1+1)2+(a2+1)2+(a2014+1)2=4001,则a1,a2,a2014中0的个数是.,答案165,解析因为a1+a2+a2014=69且a1,a2,a2014是从1,0,-1三个数中取值的一列数,所以1的个数比-1的个数多69,设a1,a2,a2014中有x个1,则有(x-69)个-1,有(2014-x-x+69)个0,则a1+1,a2+1,a2014+1这列数中有x个2,有(x-69)个0,有(2014-x-x+69)个1,又因为(a1+1)2+(a2+1)2+(a2014+1)2=4001,所以22x+(x-69)02+(2014-x-x+69)12=4001,解得x=959,所以2014-x-x+69=165.,8.(2018安徽,18,8分)观察以下等式:第1个等式:+=1,第2个等式:+=1,第3个等式:+=1,第4个等式:+=1,第5个等式:+=1,按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.,三、解答题,解析(1)+=1.(2分)(2)+=1.(4分)证明:左边=1=右边.(8分),思路分析(1)分析给出的5个等式发现,等式左边是三个分数的和,第1个分数的分子都是1,分母与等式的序号相同;第2个分数的分子比等式的序号小1,而分母比等式的序号大1;第3个分数正好是前两个分数的乘积,等式的右边均为1.据此可写出第6个等式.(2)根据(1)中发现的规律可写出第n个等式,并根据分式的运算进行证明.,9.(2018河北,22,9分)如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5,-2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少.(2)求第5个台阶上的数x是多少.应用求从下到上前31个台阶上数的和.发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.,解析尝试(1)-5-2+1+9=3.(2)由题意,得-5-2+1+9=-2+1+9+x,解得x=-5.应用与(2)同理,得第6个到第8个台阶上的数依次是-2,1,9,可见台阶上的数从下到上按-5,-2,1,9四个数依次循环排列.31=74+3,前31个台阶上数的和为73+(-5-2+1)=15.发现4k-1.,思路分析尝试:(1)直接列式,计算算式的值即可;(2)根据任意相邻四个台阶上数的和相等列出方程,得解.应用:同(2)的方法求出第6,7,8个台阶上的数,发现规律为台阶上的数从下到上每四个一循环,进而求出从下到上前31个台阶上数的和.发现:根据台阶上的数每四个一循环,可知数“1”所在的台阶数间隔为4,即可求解.,方法指导对于数字(或图形)循环变换类规律题,求经过N次变换后对应的数字(或图形)的解题步骤:1.通过观察这组数字(或图形),得到该组数字(或图形)经过一个循环变换需要的次数,记为n;2.用N除以n,当能整除时,第N次变换后对应的数字(或图形)就是一个循环变换中最后一次变换后对应的数字(或图形);当商b余m(0mn)时,第N次变换后对应的数字(或图形)就是一个循环变换中第m次变换后对应的数字(或图形).,10.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果:sin27+sin2830.122+0.992=0.9945,sin222+sin2680.372+0.932=1.0018,sin229+sin2610.482+0.872=0.9873,sin237+sin2530.602+0.802=1.0000,sin245+sin245=+=1.据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1.(1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.,解析(1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260=+=+=1.所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,ABC中,C=90,设A=,则B=90-.sin2+sin2(90-)=+=1.,
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