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. .1 可编辑修改，可打印 别找了你想要的都有！ 精品教育资料 全册教案，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务 全力满足教学需求，真实规划教学环节 最新全面教学资源，打造完美教学模式 . .2 第 1 章 特殊的平行四边形 1,1 菱形的性质与判定 一、教学目标：1、菱形的性质定理的运用2菱形的判定定理的运用 二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解决菱形的相关题型。 三、概念： 菱形性质： 1 两条对角线互相垂直平分； 2 四条边都相等； 3 每条对角线平分一组对角； 4 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。 菱形的判定定理： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形（根据四条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形（对角线和角的关系） 四、讲课过程： 1、例题、 例 1.（2006 大连）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且 DE=BF请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条 线段相等（只须证明一组线段相等即可） （1）连接 AF ； （2）猜想： AF = AE ； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据） 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析：观察图形应该是连接 AF，可通过证AFB 和ADE 全等来实现 AF=AE 解答：解：（1）如图，连接 AF； （2）AF=AE； （3）证明：四边形 ABCD 是菱形 AB=AD， ABD=ADB， ABF=ADE， 在ABF 和 ADE 中 ABFADE， AF=AE 点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明 . .3 例 2、（2009贵阳）如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与 A、B 重 合），连接 DP 交对角线 AC 于 E 连接 BE （1）证明：APD= CBE； （2）若DAB=60 ，试问 P 点运动到什么位置时，ADP 的面积等于菱形 ABCD 面 积的 ，为什么？ 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：证明题；动点型。 分析：（1）可先证BCEDCE 得到EBC= EDC，再根据 ABDC 即可得到结论 （2）当 P 点运动到 AB 边的中点时，S ADP= S 菱形 ABCD，证明 SADP= ABDP= S 菱形 ABCD 即可 解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形 BC=CD，AC 平分 BCD（2 分） CE=CE BCEDCE（4 分） EBC=EDC 又 ABDC APD=CDP（5 分） EBC=APD（6 分） （2）解：当 P 点运动到 AB 边的中点时，S ADP= S 菱形 ABCD（8 分） 理由：连接 DB DAB=60，AD=AB ABD 等边三角形（ 9 分） P 是 AB 边的中点 DPAB（10 分） SADP= APDP，S 菱形 ABCD=ABDP（11 分） AP= AB SADP= ABDP= S 菱形 ABCD 即ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 （12 分） 点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当 P 点运动到 AB 边的中点时，S ADP= S 菱形 ABCD 是 难点 例 3、（2010宁洱县）如图，四边形 ABCD 是菱形，BE AD、BFCD，垂足分别为 E、F （1）求证：BE=BF； （2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明ABE 与 CBF 全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明； . .4 （2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据 菱形的面积等于对角 线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出 解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形， AB=CB，A=C， BEAD、BF CD， AEB=CFB=90， 在ABE 和CBF 中， ABECBF（AAS ）， BE=BF （2）解：如图， 对角线 AC=8，BD=6， 对角线的一半分别为 4、3， 菱形的边长为 =5， 菱形的面积=5BE= 86， 解得 BE= 点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法 例 3、（2011广安）如图所示，在菱形 ABCD 中，ABC=60，DEAC 交 BC 的延长线于点 E 求证：DE= BE 考点：菱形的性质。 专题：证明题。 分析：由四边形 ABCD 是菱形，ABC=60，易得 BDAC，DBC=30，又由 DEAC，即可证得 DEBD，由直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 DE= BE 解答：证明： 法一：如右图，连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形， ABC=60， BDAC，DBC=30， DEAC， DEBD， 即BDE=90 ， DE= BE 法二：四边形 ABCD 是菱形， ABC=60， ADBC，AC=AD， ACDE， . .5 四边形 ACED 是菱形， DE=CE=AC=AD， 又四边形 ABCD 是菱形， AD=AB=BC=CD， BC=EC=DE，即 C 为 BE 中点， DE=BC= BE 点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识此题难度不大，注意数形结合思想的应用 例 4.（2010 益阳）如图，在菱形 ABCD 中，A=60，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为 E （1）求ABD 的度数； （2）求线段 BE 的长 考点：菱形的性质。 分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又A=60，得到ABD 是等边三角形， ABD 是 60； （2）先求出 OB 的长和BOE 的度数，再根据 30角所对的直角边等于斜边的一半即可求出 解答：解：（1）在菱形 ABCD 中，AB=AD，A=60， ABD 为等边三角形， ABD=60；（4 分） （2）由（1）可知 BD=AB=4， 又 O 为 BD 的中点， OB=2（6 分）， 又 OEAB，及 ABD=60， BOE=30， BE=1（8 分） 点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握 2、巩固练习 1.有一组邻边相等的平行四边形是_. 2.菱形的两条对角线长分别是 8 cm 和 10 cm,则菱形的面积是_. 3.菱形的两邻角之比为 1：2，边长为 2，则菱形的面积为_. 4.菱形的面积等于（ ）（20 分） A.对角线乘积 B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平 方的一半 5.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）（20 分） A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分 6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）（20 分） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7.如图，四边形 ABCD 是菱形，ABC=120，AB=6cm，则 ABD=_，DAC 的度数为_；对角线 BD=_，AC=_； A B C D O . .6 = M NO D C BA 菱形 ABCD 的面积为_（20 分） 8、在矩形 ABCD 中， O 是对角线 AC 的中点， EF 是线段 AC 的中垂线，交 AD、 BC 于 E、 F.求证：四边形 AECF 是菱形 （20 分） 9、如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD=5， 求：（1）BAC 的度数；（ 2）求 AC 的长。 10、四边形 ABCD 是矩形，四边形 AECF 是菱形， 若 AB=2cm， BC=4cm，求 四边形 AECF 的面积。 11、在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CE=CF，过点 C 做 CGEA 交 FA 于 H ，交 AD 于 G，若BAE=25，BCD=130，求AHC 的度 数。 3、作业： 一、选择题。 1、已知菱形两个邻角的比是 1:5，高是 8cm，则菱形的周长是（ ）。 A. 16cm B. 32cm C. 64cm D. 128cm 2、已知菱形的周长为 40 cm，两对角线长的比是 3:4，则两对角线的长分别是（ ）。 A. 6cm、8cm B. 3cm、4cm C. 12cm、16cm D. 24cm、32cm 3、如图：在菱形 ABCD 中， AE BC， AF CD，且 E、 F 分别为 BC、 CD 的中点，那么 EAF 等于（ ）。A. 75 B. 60 C. 45 D. 30 4、棱形的周长为 8.4cm，相邻两角之比为 5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ） A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm 5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A对角相等 B四边相等 C对角线互相平分 D四角相等 6、 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，下列条件中，不能判定 ABCD 是菱形的是（ ）。 A. AB=AD B. AC BD C. A= D D.CA 平分 BCD 7、下列命题中，真命题是（ ）。 A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。 B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。 C. 对角线互相垂直的矩形是菱形。D. 菱形的对角线相等。 8、菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）。A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 9、已知菱形的两条对角线长为 10cm 和 24cm, 那么这个菱形的周长为_, 面积为_. 10、将两张长 10cm 宽 3cm 的长方形纸条叠放在一起, 使之成 60 度 角, 那么重叠部分的面积的最大值为_. 11、一个菱形面积为 80, 周长为 40, 那么两条对角线长度之和为 OA B C D . .7 _. 12、已知菱形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 和 CD 上，且B=EAF=60，BAE=15，求CEF 的度数。 13、已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CE=CF。过点 C 作 CGEA 交 AF 于 H，交 AD 于 G，若BAE=25， BCD=130，求AHC 的度数。 14、如图所示，已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上，且 AB=AE，BAE= EAD，AE 交 BD 于 M，试说明 BE=AM。21 15、 如图，在ABC 中，AB=BC，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 上的中点， （1）求证四边形 BDEF 是菱形。（2）若 AB=12cm，求菱形 BDEF 的周长？ 16、已知：如图，ABC 中，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB 上一点，且 AE=AC，EFBC 交 AD 于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形。 17. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC、AC 分别交于点 E、F、O，求证： 四边形 AFCE 是菱形。 H GF E DC B A . .8 18、已知：如图，C 是线段 BD 上一点，ABC 和ECD 都是等边三角形，R、F、G、H 分别是四边形 ABDE 各边的中点，求证：四边形 RFGH 是菱形。 19、如图，已知在ABC 中，AB=AC，B，C 的平分线 BD、CE 相 交于点 M，DFCE，EGBD，DF 与 EG 交于 N，求证：四边形 MDNE 是菱形。 1,2 矩形的性质与判定 1、教学目标： 1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论 2 、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算 2、教学重难点：矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系 三、概念：1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 2矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）角：四个角都是直角。 （2）对角线：互相平分且相等。 3矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。 R H G F E DCB A . .9 4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有 2 条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。 5.矩形的周长和面积： 矩形的周长= 矩形的面积=长 宽= （ 为矩形的长与宽）)(2baab, 注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。 （2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。 四、讲课过程： 【经典例题:】 例 1：已知：O 是矩形 ABCD 对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 上的点，AE=BF=CG=DH，求证： 四边形 EFGH 为矩形. 分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明 证明：ABCD 为矩形 AC=BD AC、BD 互相平分于 O AO=BO=CO=DO AE=BF=CG=DH EO=FO=GO=HO 又 HF=EG EFGH 为矩形 例 2：判断 （1）两条对角线相等四边形是矩形（ ） （2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（ ） （3）有一个角是直角的四边形是矩形（ ） （4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（ ） 分析及解答： （1）如图 四边形 ABCD 中，AC=BD，但 ABCD 不为矩形， （2）对角线互相平分的四边形即平行四边形，对角线相等的平行四边形为矩形 （3）如图， 一一一一 一一一一90一一 一两 组 对 边 平 行两 组 对 边 平 行 一一一一一一一一一一90等 腰 梯 形两 腰 相 等 . .10 四边形 ABCD 中，B=90，但 ABCD 不为矩形 （4）矩形对角线的交点 O 到四个顶点距离相等 ， 如图， 【课堂练习题:】 1判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ） A对角线相等 B对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线互相垂直且相等。 2矩形的两边长分别为 10cm 和 15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（ ） A6cm 和 9cm B5cm 和 10cm C4cm 和 11cm D7cm 和 8cm 3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A对角线互相平分且相等 B四个角相等 C是轴对称图形 D对角线互相垂直平分 4 在矩形 ABCD 中, 对角线交于 O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么AOB 的面积为 ; 周长为 . 5 一个矩形周长是 12cm, 对角线长是 5cm, 那么它的面积为 . 6.若一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，则斜边上的中线等于 . 7.矩形的两条对角线的夹角是 60，一条对角线与矩形短边的和为 15，那么矩形对角线的长为 ，短边 长为 . 8.矩形的两邻边分别为 4和 3，则其对角线为 ，矩形面积为 cm 2. 9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40，则两条对角线相交所成的锐角是 . 10矩形的对角线相交所成的钝角为 120，矩形的短边长为 5 cm，则对角线之长为 cm。 11矩形 ABCD 的两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，AOB=2BOC，若对角线 AC 的长为 18 cm，则 AD= cm。 12、已知：如图所示，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，且 AE=BC， 15EDC 求证：AD=2AB 【课后练习题:】 1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。 A对角相等 B. 对边相等 C对角线相等 D. 对角线互相平分 2.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB=5，AC=13，则矩形 ABCD 的面积_。 题 2 题 4 B CD E A A B E C D . .11 = P H D C BA 3已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为 24 cm， 则矩形的面积为 cm 2。 4如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，在 CD 上取一点 E，使 AE=AB，则EBC= 。 5如图，已知ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上一点，DEAB，DFAC，BM 为高， 求证：DE+DF=BM。 6.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折 B、 D，使 BC、 AD 恰好落在 AC 上。设 F、 H 分别是 B、 D 落在 AC 上的两点， E、 G 分别是折痕 CE、 AG 与 AB、 CD 的交点。 （1）求证：四边形 AECG 是平行四边形； （2）若 AB 4cm， BC 3cm，求线段 EF 的长。 7、已知：如图，在ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为点 D，AN 是ABC 的外角CAM 的平分线， CEAN，垂足为点 E，求证：四边形 ADCE 为矩形。 8、如图, 在矩形 ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分 CBH. 9、如图，矩形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，EFCE 交 AB 于 F，若 DE=2，矩形 ABCD 的周长为 16，且 CE=EF，求 AE 的长 10、已知：如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形。 A B CD E M F . .12 11、已知：如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的，M、N 分别为 BC、AD 的中点求证：四边形 BMDN 是矩形 12、如图，已知在四边形 中， 交于 ， 、 、 、 分别是四边的中点，ABCDBOEFGH 求证：四边形 是矩形EFGH 1,3 正方形的性质与判定 一、教学目标：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法。 二、教学重难点：探索正方形的性质与判定。掌握正方形的性质和判定的应用方法 三、概念： 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角,四条边都相等. 2、正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。 正方形的判定: 1、有一个角是直角的菱形是正方形. 2、有一组邻边相等的矩形是正方形。 3、两组对边平行的菱形是正方形。 4、对角线相等的菱形是正方形。 5、对角线互相垂直的矩形是正方形。 6、两组对边平行的矩形是正方形 7、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。 8、一组邻边相等，对角线互相垂直的平行四边形是正方形。 9、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 10、每个角都是 90 度的平行四边形是正方形。 11、一组邻边相等，对角线平分的四边形是正方形。 12、四个均为直角，每条对角线平分一组对角的四边形是正方形 BA CD N M H G O F E D C B A . .13 四、讲课过程 1、例题 例 1：如图:ABC 中,ACB=90,CD 平分ACB,DEBC,DF AC,垂足分别为 E、F 求证:四边形 CFDE 是正方形. 分析：要证明四边形 CFDE 是正方形,可以先证四边形 CFDE 是矩形,然后再证明有一组邻 边 相等;也可以先证四边形 CFDE 是菱形,然后再证有一个角是直角. 解CD 平分ACB,DEBC,DFAC DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等） DEC=ECF=CFD=90, 四边形 CFDE 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， 又 DE=DF（已证） 四边形 CFDE 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） . .14 例 2：已知：如图点 A、B、C、D分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA=BB=CC=DD 求证：四边形 ABCD是正方形 分析：法一：先证明四边形 ABCD是 菱形再证明四边形 ABCD有一个角是直角 法二：先证明四边形 ABCD是 矩形再证明四边形 ABCD有一组邻边相等。 证明：四边形 ABCD 是正方形 AB=BC=CD=DA 又AA=BB=CC=DD DA=AB=BC=CD A= B=C= D=90 AAD BBACCBDDC AD=AB=BC=CD 四边形 ABCD是菱形 又ADA= BAB， AAD+ADA=90 AAD+ BAB=90 DAB=180（AAD+BAB）=90 四边形 ABCD是正方形 例 3：如图：EG 、FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O,EGFH,求证四边形 EFGH 为正方形 解答： 正方形 ABCD EGFH OAHOBE45， DB=AC OAOB, AOH90AOEBOE, AOHBOEASA . OHOE. 同理 OEOFOG OH, 四边形 EFGH 是平行四边形 FH=EG EGFH 四边形 EFGH 为正方形。 2、巩固练习 、如图，分别延长等腰直角OAB 的两条直角边 AO 和 BO，使 AO=OC，BO=OD 求证：四边形 ABCD 是正方形 、矩形 ABCD 中，四个内角的平分线组成四边形 EMFN，判断四边形 EMFN 的形状,并说明原因: 3、判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？ 对角线相等的菱形是正方形。 （ ） 、 对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ） 、 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（ ） 、 四条边都相等的四边形是正方形。（ ） 、 四个角都相等的四边形是正方形。（ ） . .15 、 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。（ ） 、 正方形一定是矩形。（ ） 、 正方形一定是菱形。（ ） 、 菱形一定是正方形。（ ） 、 矩形一定是正方形。（ ） 4、已 知 ： 如 图 ， 正 方 形 ABCD 中 ， CM=CD， MN AC， 连 结 CN， 则 DCN=_=_ B， MND=_=_B. 5、在 正方形 ABCD 中， AB=12 cm，对角线 AC、 BD 相交于 O，则 ABO 的周 长 是（ ） A.12+12 B.12+6 C.12+ D.24+62222 3、作业 1、在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CA,连接 AE 交 CD 于 F，求 的度数。AD 变式：1、已知如下图，正方形 ABCD 中， E 是 CD 边上的一点， F 为 BC 延长线 上一点， CE=CF. (1)求证： BEC DFC；(2)若 BEC=60，求 EFD 的度数. 2：如图， E 为正方形 ABCD 的 BC 边上的一点， CG 平分 DCF，连结 AE，并在 CG 上取一点 G，使 EG=AE.求证： AE EG. 3、 P 为正方形 ABCD 内一点， PA=1， PB=2， PC=3，求 APB 的度数. 4、（海南省）如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、 C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB. A B C P D E . .16 （1）求证： PE=PD ； PE PD； （2）设 AP=x, PBE 的面积为 y.求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 5、如图，四边形 ABCD 为正方形，以 AB 为边向正方形外作等边三角形 ABE，CE 与 DB 相交于 点 F，则 = 。AD 6、（哈尔滨）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 边上一点， BE=3，M 为线段 AE 上一 点，射线 BM 交正方形的一边于点 F，且 BF=AE，则 BM 的长为 。 7、.正方形的面积是 ，则其对角线长是_.31 8、 E 为正方形 ABCD 内一点，且 EBC 是等边三角形，求 EAD 的度数. 9、如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O 是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP 绕 O 点旋 转，证明：无论正方形 OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值 10、E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， 垂足分别为 F、G ，求证：BE=FG 。,EFCDGA 11、已知 中， ，CD 平分 ,交 AB 于 D，DF/BC,DE/AC，求证：四边形 DECF 为正方形。RtABC90B . .17 第二章 一元二次方程 2,1 认识一元二次方程 一教学目标： 1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 2、渗透“夹逼”思想 二教学重点难点：用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。 三概念：（一）、一元二次方程定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 （二）、一元二次方程的一般形式 ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中)0(2acbxa 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 4讲课过程 一、复习： 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax 2+bx+c-0(a0) 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 （1）2x 2x+1=0 (2)x 2+1=0 (3)x2x=0 (4) x2=03 二、新授： 1、估算地毯花边的宽。 地毯花边的宽 x(m)，满足方程 (82x)(52x)=18 也就是：2x 213x+11=0 你能求出 x 吗？ （1）x 可能小于 0 吗？说说你的理由；x 不可能小于 0，因为 x 表示地毯的宽度。 （2）x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？为什么？ x 不可能大于 4，也不可能大于 2.5, x4 时，52x2.5 时， 52xBC，则 =_,ABC 17、如图 5，ABC 中，AED=B，DE=6，AB=10，AE=8，则 BC= 18、如图 6，AB 是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚 B 距墙 1.4m，梯上一点 D 距墙 1.2m，BD 长 0.5m，则 梯长为 m 呐 B C D E E B C A D C A D E B 如图 5 如图 6 如图 8 19、两个等腰三角形的顶角相等，其中一个三角形的两边分别是 3、6，另一个三角形的一边为 12， 则这个三角形的另两边长为 20、如图 8，已知 D、E 两点分别在ABC 的两边 AB、AC 的延长线上，且 DEBC，则 = AB D ， = AC E 21、把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则这个矩形的长边与短边之比为 4.5 相似三角形判定定理的证明 一、教学目标： 二、教学难点、重点： 三、概念： 四、讲课过程： 例 1、ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E。 （1）求证：ABDCED； （2）若 AB=6，AD=2CD,求 BE 的长。 例 2、已知在ABC 中，点 D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 上的点，DEBC， . .81 EFAB，且 AD：DB=3:5，那么 CF：CB 等于 。 例 3、ABC 为等边三角形，D,E 分别是 AC,BC 上的点（不与顶点重合），BDE=60.(1)求证： DECBDA； (2)若等边三角形的边长为 4，并设 DC=x，BE=y，试求 y 与 x 之间的函数关系式。 例 4、在ABC 中，AC=8cm，BC=16cm，点 P 从点 A 出发，沿着 AC 边向点 C 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 C 出发，沿着 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，如果 P 与 Q 同时出发，那么经过几秒PQC 与 ABC 相似？ 4.6 利用相似三角形测高 1、一、教学目标：掌握几种测量旗杆高度的方法与原理，解决一些相关的生活实际问题。 2、二、教学难点、重点：通过设计测量旗杆高度的方案，学会将实物图形抽象成几何图形的方法，体会 将实际问题转化成数学模型的转化思想。 三、概念： 四、讲课过程： 【相关知识链接】 1、相似三角形的定义：三角 相等，三边 的两个三角形叫做相似三角形。 2、三角形相似的判定： 。 。 。 【学习引入】 一、探索： 问题 1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ . .82 问题 2：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” 塔的个斜面 正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约 230 多米据考证，为建成大金字塔，共动用了 10 万人花了 20 年时间原高 146.59 米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高 度有所降低 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知 道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶 的你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 二、学生讨论 三、总结归纳： 知识点 1、利用阳光下的影子测量旗杆的高度： 让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同 一时刻旗杆的影长。 原理：太阳是平行光线 ABCD，B=DCE ACB=DEC=90 ACBDEC BCEADEAC即, 结论：同一时刻， 参 照 物 体 影 子 的 长 度参 照 物 体 高 度被 测 物 体 影 子 长 度被 测 物 体 实 际 高 度 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部 立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度 如图，如果木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影 子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的 高度 解： 知识点 2、利用标杆测量旗杆的高度 工具：皮尺、标杆 步骤：（1）测量出标杆 CD 的长度，测出观测者眼部以下高度 EF； （2）让标杆竖直立于地面，调整观测者 EF 的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、观测者的眼 睛三者在同一条直线上，测出观测者距标杆底端的距离 FD 和距旗杆底部的距离 FB； （3）根据 ,求得 AH 的长，再加上 EF 的长即为旗杆 AB 的高度。EHGAC . .83 依据：如图，过点 E 作 EHAB 于点 H，交 CD 于点 G CDAB ECG=EAH CEG=AEH ECGEAH HGACD EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF, 且 FD，FB,CD,EF 可测 可求 AH 的长度 AB=AH+HB=AH+EF 知识点 2、利用镜子的反射杆测量旗杆的高度 工具：皮尺、镜子 步骤：（1）在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记； （2）测出观测者眼睛到地面的距离； （3）观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此 时测出镜子上标记 O 到人脚底 D 的距离 OD 及镜子上的标记 O 到旗杆底部的距离 OB； （4）把测得的数据代入 ,即可求得旗杆的高度OBAC AB。 依据：在COD 与AOB 中 COD=AOB，CDO=ABO=90 CODAOB CD,OD,OB 皆可测得 AB 可求。 【例题解析】 例 1、如图所示，从点 A（0,2）发出的一束光，经 x 轴反射，过点 B（4,3），则这束光从点 A 到点 B 所经过路径的长为 。 例 2、王华在晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处，测得影子 CD 的长为 1m，继续往前走 3m 到达 E 处时， 测得影子 EF 的长为 2m，已知王华的身高是 1.5m，那么路灯 A 的高度 AB 等于 。 A B . .84 【经典练习】 1、在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( ) A.成反比例 B.成正比例 C.相等 D.不成比例 2、如图,DEEB,ABEB, DCE=ACB,DE=12 m,EC=15 m,BC=30 m,则 AB =_m. 3、如图，大正方形中有 2 个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、 S2 ，那么 S1、 S2的大小关系是 (A) S1 S2 (B) S1 = S2 (C) S10 时，两支曲线分别位于一、三象限内，当 k0 时，在第一象限内，y 的值随 x 的增大而减小；当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0）与 x 轴交于点 A（ a，0）. （1）求点 A 的横坐标 a 与 k 之间的函数关系式； （2）当该直线与双曲线在第一象限内的另一交点 D 的横坐标是 9 时，求 COA 的面积. B（1 ，n ） A（ 2，1 ） 第 21 题图 y x O A D C（1，5 ） x y 第 23 题图 . .121 11（6 分）已知反比例函数 xmy3和一次函数 1kxy的图象都经过点 mP(， )3 （1）求点 P 的坐标和这个一次函数的解析式； （2）若点 M（ a， 1）和点 N （ 1a， 2）都在这个一次函数的图象上试通过计算或利用一次函数的性质， 说明 1y大于 2 6.3 反比例函数的应用 教学目标：使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。 教学重点：反比例函数的应用 教学程序： 一、新授： 1、实例 1：（1）用含 S 的代数式表示 P，P 是 S 的反比例函数吗？为什么？ 答：P= (s0)，P 是 S 的反比例函数。 600s （2）、当木板面积为 0.2 m2时，压强是多少？ 答：P=3000Pa （3）、如果要求压强不超过 6000Pa，木板的面积至少要多少？ 答：至少 0.lm2。 （4）、在直角坐标系中，作出相应的函数图象。 （5）、请利用图象（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流。 二、做一做 1、（1）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）与电阻 R（）之间的函数关系如图 5-8 所示。 （2）蓄电池的电压是多少？你以写出这一函数的表达式吗？ 电压 U=36V ， I= 60k 2、完成下表，并回答问题，如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 10A，那么用电器的可变电阻应控制在 什么范围内？ R（） 3 4 5 6 7 8 9 10 . .122 I（A） 3、如图 5-9，正比例函数 y=k1x 的图象与反比例函数 y= 的图象相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为 60k （ ，2 ）3 3 （1）分别写出这两个函数的表达式； （2）你能求出点 B 的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流； 二、随堂练习： 1、若 和 是反比例函数 图象上的两点，则一次函数 的图象经过,M21,nbNxkybkxy _象限。 2、函数 的图象在第_象限，在每个象限内，图象从左向右_.xy3 3、如图所示，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函 数和一次函数）。两地间的距离是 80 千米，请根据图象回答或解决下面的问题。 谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙较早，早多长时间？ 两人在途中的速度分别是多少？ 请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式（不要求写自变量的取值范围） 指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）在这段时间内，请你分别按下列条件列出关于 的方x 程或不等式（不要化简求解）：自行车行驶在摩托车前面；自行车与摩托车相遇；自行车行驶在摩托车后面。 8530 20 40 60 80 摩 托 车 自 行 车 y(千 米 ) x(时 ) 4、通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成，以前本市通过“城市热线”上“因特网” 的费用为电话费 0.18 元/3 分钟，上网费为 7.2 元/ 小时，后根据信息产业部调整 “因特网”资费要求，自 1993 年 1 月 3 日起，本市上“因特网”的费用调整为电话费 0.22 元/3 分钟，上网费用每月不超过 60 小时，按 4 元/ 小时 计算；超过小时部分，按 8 元/小时计算。 根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用 （元）表示为上网 （时）的函数。yx 资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月 70 小时的上网费用支出，“因特网”资费调 整后，晓刚想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？ 以资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况。 . .123 5、某足协举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方法如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到第 12 轮结束时，A 队共积分 19 分 通过比赛，判断 A 队胜、平、负各几场； 当每赛一场各队员均得出场费 500 元，设 A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和 （元），试求W 的最大值。W 三、作业： 1、设每名工人一天能做某种型号的工艺品 x 个。若某工艺厂每天要生产这种工艺品 60 个，则需工人 y 名。 （1） 求 y 关于 x 的函数解析式。 （2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少 6 个，最多 8 个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少 人？ 2、设面积为 20cm2 的平行四边形的一边长为 a（cm），这条边上的高为 h（cm）， 求 h 关于 a 的函数解析式及自变量 a 的取值范围； h 关于 a 的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数 求当边长 a=25cm 时，这条边上的高。 3、设电水壶所在电路上的电压保持不变，选用电热丝的电阻为 R（），电水壶的功率为 P（W）。 (1) 已知选用电热丝的电阻为 50 ，通过电流为 968w，求 P 关于 R 的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。 (2)如果接上新电热丝的电阻大于 50 ，那么与原来的相比，电水壶的功率将发生什么变化？ . .124 4（6 分）某蓄水池的排水管每时排水 8 m3，6h 可将满池水全部排空 （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果增加排水管，使每时排水量达到 Q（m 3），那么将满池水排空所需的时间 t（ h）将如何变化？ （3）写出 t 与 Q 之间的函数关系式 （4）如果准备在 5 小时之内将满水池排空，那么每时的排水量至少为多少？ （5）已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排完？ 5（6 分）近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例，已知 800 度近视眼镜镜片的焦距为 0.125 米， （1）求 y 与 x 的函数关系； （2）若张华同学近视眼镜镜片的焦距为 0.25 米，你知道他的眼睛近视多少度吗？ 6（6 分）对于取消市场上使用的杆秤的呼声越来越高，原因在于一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小 称砣，使砣较轻，从而欺骗顾客. （1）如图，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个用的是较轻的秤砣？ （2）在称同一物体时，所称得的物体质量 y（千克）与所用秤砣质量 x（千克）之间满足 关系. （3）当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？ 图 1 图 2 . .125 7（6 分）联想电脑公司新春期间搞活动，规定每台电脑 0.7 万元，交首付后剩余的钱数 y 与时间 t 的关系如图 所示： （1）根据图象写出 y 与 t 的函数关系式. （2）求出首付的钱数. （3）如果要求每月支付的钱数不少于 400 元，那么还至少几个才能将所有的钱全部还清？ 8、杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：每份买进 0.2 元， 每份卖出 0.3 元；一个月内（以 30 天计），有 20 天每天可以卖出 120 份，其余 10 天每天只能卖出 80 份； 一个月内，每天从报社买进的报纸必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份 0.1 元退回给报社。 填表： 一个月内每天买进该种 晚报的份数 100 150 当月利润（单位：元） 设每天从报社买进该种晚报 份 时，月利润为 元，试求出 与 的函数关系式并求月利润x201yyx 的最大值。 9、某市 20 位下岗职工在近郊承包了 50 亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟草或小麦，种这几种农作物每亩地所 需取工数和产值预测如下表： 作物品种 每亩地所需取工数 每亩地预计产值 蔬菜 211100 元 烟叶 3750 元 小麦 4600 元 请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20 位职工都有工作，且使农作物预计总产值最高。 1510 100 600 900 5 t(月) y(元 ) O （10，600 ） . .126 11、某学生急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同， 设汽车每月行驶 ，应付给个体车主的月费用是 元，应付给出租车公司的车费用是 元， 元分别与xkm1y 2y21, 之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象，回答下列问题：x 每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？ 每月行驶的路程为多少时，租两家车的费用相同？ 如果这个单位估计每月行驶的路程为 ，那么这个单位租哪家的车合算？km230 y2 y1 1000 2000 3000 15005000 x(千 米 ) y(元 ) 12、某药品研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后 2 小时血液中含药 量最高，达每毫升 6 微克，接着逐步衰减，10 小时血液中含药量为每毫升 3 微克，每毫升血液中含药量 （微克）y 随时间 （时）的变化如图所示。分别求出 和 时， 与 的函数解析式。x 2xyx 6 3 1020 x(时 ) y(微 克 ) . .127
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