高考数学《解析几何》专项训练及答案解析

高考数学解析几何专项训练一、单选题1已知直线过点A（，0）且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为( )ABCD2已知双曲线的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且，则直线AB的斜率为（ ）A或B或C2D3已知点是圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（ ）ABCD4若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）ABCD5已知抛物线C：的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点点B在F，M中间，且与抛物线C的准线交于点N，若，则AF的长为（ ）AB1CD6已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD7已知抛物线C：的焦点F，点是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线交于A、B两点（A在B的上方），若，则抛物线C的方程为（ ）ABCD8已知离心率为的椭圆：的左、右焦点分别为，过点且斜率为1的直线与椭圆在第一象限内的交点为，则到直线，轴的距离之比为（ ）ABCD二、多选题9已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）ABCD10已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）ABCD三、填空题11已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为_12已知圆与直线交于、两点，过、分别作轴的垂线，且与轴分别交于、两点，若，则_13已知双曲线的焦距为，为上一点，则的渐近线方程为_.14已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，、分别为、在上的射影，为的中点，给出下列命题：（1）；（2）；（3）；（4）与的交点的轴上；（5）与交于原点.其中真命题的序号为_.四、解答题15已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.16已知椭圆方程为（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围参考答案1D【解析】【分析】因为圆上恰有3个点到的距离为1，所以与直线平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出的值【详解】直线的方程为：即因为圆上恰有3个点到的距离为1，所以与直线平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线的距离为1故，解得故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题2B【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据，得到为中点，得到与的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出点坐标，从而得到的斜率，得到答案.【详解】因为双曲线的离心率为，又，所以，所以双曲线渐近线为当点A在直线上，点B在直线上时，设，由及B是AF中点可知，分别代入直线方程，得，解得，所以，所以直线AB的斜率，由双曲线的对称性得，也成立.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题.3D【解析】【分析】计算出圆心到直线距离的最大值，再加上圆的半径可得出点到直线的距离的最大值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，点到直线的距离为，因此，点到直线距离的最大值为.故选：D.【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为，圆的半径为，则圆上一点到直线的距离的最大值为，最小值为，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题.4D【解析】设直线方程为，即，直线与曲线有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C正确5C【解析】【分析】由题意画出图形，求出AB的斜率，得到AB的方程，求得p，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A的坐标，再由抛物线定义求解AF的长【详解】解：如图，过B作垂直于准线，垂足为，则，由，得，可得，又，的方程为，取，得，即，则，抛物线方程为联立，解得故选：C【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题6D【解析】【分析】设、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，设、分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，将点的坐标代入双曲线的方程得，即，设该双曲线的离心率为，则，整理得，解得，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.7C【解析】【分析】根据抛物线的定义，表示出，再表示出，利用，得到和之间的关系，将点坐标，代入到抛物线中，从而解出的值，得到答案.【详解】抛物线C：，其焦点，准线方程，因为点是抛物线上一点，所以所在直线，设于，则，因为，所以，即整理得所以将点代入到抛物线方程，得，解得，所以抛物线方程为故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设，用x表示,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。【详解】结合，所以，设，对三角形运用余弦定理得到，代入，得到，即，运用三角形面积相等设到直线距离为d，则，代入，得到，所以到直线，轴的距离之比为【点睛】本道题考查了余弦定理和三角形面积计算公式，难度较大。9AC【解析】【分析】设点的坐标为，可得知当、均为圆的切线时，取得最大值，可得出四边形为正方形，可得出，进而可求出点的坐标.【详解】如下图所示：原点到直线的距离为，则直线与圆相切，由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，连接、，由于的最大值为，且，则四边形为正方形，所以，由两点间的距离公式得，整理得，解得或，因此，点的坐标为或.故选：AC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10ABC【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，由抛物线的定义可知，则为等边三角形，则，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，（抛物线定义），C选项正确；，D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11.【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.12或【解析】【分析】设点、，则有、，可得出，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，结合可求出实数的值.【详解】设点、，由，消去，得，解得.由韦达定理知，所以，整理得，解得或，满足.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的综合问题，涉及弦长的计算，常用几何法（弦心距、弦长的一半、半径长满足勾股定理）以及代数法（将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理求解）来计算，考查计算能力，属于中等题.13【解析】【分析】根据题意可得出该双曲线的两个焦点的坐标，利用定义可得出的值，结合双曲线的焦距可求出的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为，由双曲线的定义可得，因此，双曲线的渐近线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.14（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析】（1）由、在抛物线上，根据抛物线的定义可知，从而有相等的角，由此可判断；（2）取的中点，利用中位线即抛物线的定义可得，从而可得；（3）由（2）知，平分，从而可得，根据，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；（4）取与轴的交点，可得，可得出的中点在轴上，从而得出结论；（5）设直线的方程为，设点、，证明出、三点共线，同理得出、三点共线，由此可得出结论.【详解】（1）由于、在抛物线上，且、分别为、在准线上的射影，根据抛物线的定义可知，则，则，即，则，即，（1）正确；（2）取的中点，则，即，（2）正确；（3）由（2）知，平分，由于，（3）正确；（4）取与轴的交点，则，轴，可知，即点为的中点，由（3）知，平分，过点，所以，与的交点的轴上，（4）正确；（5）设直线的方程为，设点、，则点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，直线的斜率为，直线的斜率为，则、三点共线，同理得出、三点共线，所以，与交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）.故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题.15（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.【详解】（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以，因为动圆P与圆N内切，所以，则，由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为，则，故，所以曲线C的方程为.（2）当直线l斜率存在时，设直线，联立，得，设点，则，所以，即，得.则，因为，所以.即，直线，所以直线l过定点.当直线l斜率不存在时，设直线，且，则点，解得，所以直线也过定点.综上所述，直线l过定点.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.16（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点，由该点在椭圆上得出，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出的值；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线的斜率不存在时，可求得，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，根据直线与圆相切，得出，并将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将表示为的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，设，由，同理，可得，结合，得，故；（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，由对称性，不妨设，此时，故若直线的斜率存在，设其方程为，由已知可得，则，设、，将直线与椭圆方程联立，得，由韦达定理得，结合及，可知将根与系数的关系代入整理得：，结合，得设，则的取值范围是【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.