高考数学《数列》专项训练及答案解析

高考数学数列专项训练一、单选题1等差数列的前项和为，若，则（ ）ABCD2等比数列的前项和为，且、成等差数列，若，则（ ）ABCD3已知等差数列前项和为，若，则（ ）A110B150C210D2804若数列的前项和为，且，则（ ）ABCD5设为数列的前n项和，则的通项公式为（ ）ABCD6对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（ ）ABCD7等比数列的各项均为正数，已知向量，且，则A12B10C5D8数列满足：，给出下述命题正确的个数是：（ ）若数列满足：，则；存在常数，使得成立；若（其中），则；存在常数，使得都成立A个B个C个D个二、多选题9等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是（ ）A若，则必有B若，则必有是中最大的项C若，则必有D若，则必有10已知等比数列中，满足，则（ ）A数列是等比数列B数列是递增数列C数列是等差数列D数列中，仍成等比数列11设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）ABC的最大值为D的最大值为12设为不超过x的最大整数，为能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确的有（ ）AB190是数列中的项CD当时，取最小值三、填空题13数列的最大项所在的项数为_.14设数列满足，若数列的前2019项的乘积为3，则_15在数列中，且.（1）的通项公式为_；（2）在、这项中，被除余的项数为_四、解答题16已知数列满足，且.(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.(2)若，求数列的前项和.17已知等差数列an满足a59，a2a614.(1)求an的通项公式；(2)若，求数列bn的前n项和Sn.18设为等差数列的公差，数列的前项和，满足（），且，若实数（，），则称具有性质.（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；（2）设为数列的前项和，若是单调递增数列，求证：对任意的（，），实数都不具有性质；（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.参考答案1B【解析】【分析】利用等差中项的性质可得，求得；再根据下角标的性质可求得结果.【详解】由等差数列性质可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.2C【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据题意得出关于的二次方程，求出的值，然后利用等比数列求和公式可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，由于、成等差数列，且，即，即，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题.3D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，也成等差数列，由此求得的值.【详解】解：等差数列前项和为，也成等差数列故 ，又故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质，等差数列前n项和公式的应用.4C【解析】【分析】对已知，进行化简，令，可得，即为等比数列，利用可计算出的首项和公比，从而可求得的通项，得到的通项.【详解】，令，可得为等比数列，设其公比为，故选C项.【点睛】本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题.5B【解析】【分析】先根据递推公式求出首项，再递推一步，两个等式相减，即可判断出数列是等比数列，最后求出通项公式即可.【详解】因为，时，可得，时，-得，所以是等比数列，.故选：B【点睛】本题考查了通过递推公式求等比数列的通项公式，考查了数学运算能力.6B【解析】【分析】根据题中定义结合等式可得出，等式两边同时除以，可得出，可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出数列的通项公式，即可得出.【详解】根据题中定义可得，即，即，等式两边同时除以，得，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题.7C【解析】【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出【详解】向量（，），（，），且4，+4，由等比数列的性质可得：2，则log2（）故选C【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题8A【解析】【分析】由得，然后结合条件，逐一判断四个命题的真假【详解】由，得，即数列是递增数列对于，若，则，成立，正确；对于，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是当时，不存在常数，使得成立，错误；对于，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是，错误；对于，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是当时，故不存在常数，使得都成立，错误故选：A【点睛】本题主要考查数列递推式以及数列单调性的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于中档题9ABC【解析】【分析】直接根据等差数列的前项和公式逐一判断【详解】等差数列的前项和公式，若，则，A对；，由二次函数的性质知是中最大的项，B对；若，则，C对，D错；故选：ABC【点睛】本题主要考查等差数列的前项和公式及其应用，属于中档题10AC【解析】【分析】根据题意求出等比数列的通项公式，即可求出数列，的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前项和公式，可求出，即可判断选项的真假【详解】等比数列中，所以，于是 ，故数列是等比数列，数列是递减数列，数列是等差数列因为 ，所以不成等比数列故选：AC【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于基础题11AD【解析】【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】, 与题设矛盾.符合题意.与题设矛盾. 与题设矛盾. 得，则的最大值为.B，C，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：.12ACD【解析】【分析】先根据的定义可求得,再确定的递推公式,从而求得的通项公式求解即可.【详解】当时,故 ,即,当时,故,即,当时, , ,故,即,以此类推,当,时, ,故可以取的个数为,即当时也满足上式,故.对A, ,故A正确.对B,令无整数解.故B错误.对C, .故.故.故C正确.对D, .当且仅当时取等号.因为,当时, 当时,故当时,取最小值,故D正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查了数列中的新定义问题,需要根据题意求解通项公式进行分析,主要考查递推公式推导通项公式的方法等.属于难题.三、填空题1311.【解析】【分析】，时，得到关于的不等式组，解得的范围，结合，得到的值，再与时进行比较，得到答案.【详解】令，当时，设为最大项，则即解得.而，所以又时，有，所以数列的最大项所在的项数为.故答案为：【点睛】本题考查求数列中的最大项，属于简单题.142【解析】【分析】本题先根据递推式的特点可知，然后将递推式可转化为再根据逐步代入前几项即可发现数列是以最小正周期为4的周期数列再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a的值【详解】解：由题意，根据递推式，故递推式可转化为，数列是以最小正周期为4的周期数列，解得故答案为：2【点睛】本题主要考查周期数列的判定以及周期数列的性质应用，本题属中档题17 【解析】【分析】（1）根据题意得知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可求出；（2）设，可得出，由为奇数，可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数，求出两种情况下值的个数，相加即可得出答案.【详解】（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，；（2）被整除且余数为的整数可表示为，令，可得，且，则为奇数，则为的倍数，或者为的奇数倍且为偶数.当为的倍数时，的取值有：、，共个；当为的奇数倍且为偶数时，的取值有：、，共个.综上所述，在、这项中，被除余的项数为.故答案为：；.【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.16（1）见解析，（2）【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，并通过数列的通项公式得到数列的通项公式；(2)因为，根据错位相减法即可求出数列的前项和【详解】(1)因为两边都加上，得所以，即，所以数列是以为公差，首项为的等差数列所以，即(2)因为，所以数列的前项和，则，由，得，所以【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题17（1）an2n1（2）【解析】【分析】（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，将条件转化为基本量再进行计算，得到和的值，从而得到an的通项公式；（2）先得到的通项，然后当q0且q1时，对进行分组求和，分为一个等差数列和一个等比数列，分别求和再相加，当q1时，是一个等差数列，利用等差数列的求和公式进行求和.【详解】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由a59，a2a614得解得所以an的通项公式an2n1.(2)由an2n1，得.当q0且q1时，Sn1357(2n1)(q1q3q5q7q2n1)；当q1时，bn2n，则Snn(n1)所以数列bn的前n项和.【点睛】本题考查通过基本量求等差数列的通项公式，分组求和法求数列前项的和，属于中档题.18（1）不具有性质，具有性质，理由见解析；（2）证明见解析；（3）和.【解析】【分析】（1）求得时,数列的前7项,可得和首项,得到等差数列的通项,即可判断、是否具有性质；（2）由题意可得 ,代入等差数列的通项公式和求和公式,化简整理可得入 ,结合集合中元素的特点,即可得证；（3）求得的特点,结合 集合的特点,即可得到所求取值.【详解】解：（1）由得, 又,得,可得,从而,故不具有性质,具有性质. （2）,因为数列单调递增,所以,即, 又数列单调递增,则数列的最小项为,则对任意,都有,故实数都不具有性质. （3）因为,所以,两式相减得 ,即,当为偶数时,即,此时为奇数；当为奇数时,即,则,此时为偶数；则,. 则,故,因为对于一切递增,所以,所以 .若对任意的,都具有性质,则,即,解得,又,则或,即所有满足条件的正整数的值为和.【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式的求法,集合的性质和数列的单调性的判断和应用,考查化简整理的运算能力,属于难题.