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二次函数,一、二次函数的重要性,二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，是近几年来中考压轴题的热点,1.在中学数学中起着承上启下的作用。是学习高等数学极为重要的知识点，2.围绕二次函数能全面考查对函数的分析3.体现了数学学科的内在联系和知识综合运用.,作用：通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力,题型：填空、选择与解答题，其中以计算型综合解答题居多.分值：陕西中考中，选择题10（3分），解答题24（10分），比例10.8%。考查内容：定义式，解析式(求参数)，分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。能用数形结合，归纳等数学思想，根据二次函数的表达式（图像）确定二次的开口方向，对称轴和顶点的坐标，并获得更多信息。综合运用方程，几何图形，函数等知识点解决问题。,关键：正确掌握二次函数的基本性质,“考纲”要求,1理解二次函数的概念，掌握二次函数及其图象的基本性质，其特征量求法及其应用。2.代数式运算及变形，一元二次方程解法及性质应用3.应用函数思想解决实际问题。4.应用数形结合思想解决综合性问题.,二、目标：,三.二次函数的重点考查方向：1.二次函数的基本性质（1）函数图象的位置与系数符号的关系（2）二次函数的平移、对称2.二次函数的综合应用（1）建立函数模型，解决实际应用问题，最值（2）点的存在性,1.函数图象位置与系数符号的关系,（1）判断a、b、c的符号；（2）与a、b有关，对称轴及直线x=1和x=-1（3）与x值相关的关系式的判定（x=1，x=-1，x=2，x=-2时）（4）与判别式有关的判定（5）a值范围的判定（6）根据增减性比较函数值得大小,例1（04年陕西）10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是【】A.ab0D.a-b+c0,例2（11雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其称轴x=-1，给出下列结果b24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；a-b+c0，则正确的结论是（）A、B、C、D、,例3（2011广西）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论中：abc0；2a+b0；a+bm（am+b）（m1的实数）；（a+c）2b2；a1其中正确的项是（）A、B、C、D、,例4.二次函数y=x2-6x+c的图像过,则的大小关系是（）,2.二次函数的平移、对称,三大变换：平移，翻折，旋转,关于对称：五种情况关于x轴、y轴、原点、顶点、点m,n对称,平移、翻折、旋转中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变.,关键：确定变换前后顶点坐标及开口方向,例5（2011滨州）抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A、先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B、先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C、先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D、先向右平移2个单位，再向上平移3个单位,例6（2007吉林）如图，抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标_（2）阴影部分的面积S=_（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式,例7（2011桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式是（）y=-（x+1）2+2B.y=-（x-1）2+4C.y=-（x-1）2+2D.y=-（x+1）2+4,例8（2006湖州）已知二次函数y=x2-bx+1（-1b1），在b从-1变化到1的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变化，下列关于抛物线的移动方向描述正确的是（）,例9(2010陕西)10.将抛物线C：y=x+3x-10，将抛物线C平移到C。若两条抛物线C,C关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（）A.将抛物线C向右平移个单位B.将抛物线C向右平移3个单位C.将抛物线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位,二次函数对称性和平移的应用,例10（11陕西）,24如图，二次函数的图像经过AOC的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n)（1）求A、B的坐标（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，这样的点C有几个？（3）能否将抛物线平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。,例11.26（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标（5分）,有关二次函数表示方法之一：列表形式（1）由列表判断函数类型（2）由列表判断二次函数的特征（3）利用列表法求方程的近似根,例12（2011.泰安）若二次函数,的部分x与y的对应值如下表：,则当x=1时，y的值为（）A.5B.-3C.-13D.-27,例13.10.(09陕西)根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴（）,A只有一个交点B有两个交点，且它们分别在y轴两侧C有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点,3.二此函数的实际应用，最值（1）数学建模的思想（2）最大利润、最大面积-配方法注意：检验结果的合理性,例14、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成若设花园的宽为x(m)，花园的面积为y(m)(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？,例15（2011.株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是_米.,抛物线性问题，建立直角坐标系；,例16（2006年武汉）连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥。它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观。桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米。以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系。（1）求抛物线的解析式；（2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由.,例17（2011温州）已知二次函数的图象（0x3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A、有最小值0，有最大值3B、有最小值-1，有最大值0C、有最小值-1，有最大值3D、有最小值-1，无最大值,最值：注意区域性,例18（西工大检测）在二次函数y=x2-bx+3中，当-1x1时，求函数值y的最大值和最小值。,4.点的存在性-动点问题由动点问题产生的三角形、特殊四边形、线段的和与差，所产生几何图形的面积特征：先求函数的解析式，然后在函数的图象上探求符合几何条件的点思路：（1）找出满足条件的点（2）探求若该点满足条件，则根据其几何图形的性质，应满足那些数量或位置关系（3）选取并设出自变量，建立新的解析式通过一定的数量转换方式将动点变量与所求建立联系根据数量关系，列出式子，进行求解.自变量的选取：a.线段长b.运动时间c.横坐标,例19（09临沂）如图，抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0，-2)三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,例20.24（2010年陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0），C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标,例2124（11陕西）如图，二次函数的图像经过AOC的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n)（1）求A、B的坐标（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，这样的点C有几个？（3）能否将抛物线平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。,例22（2011兰州28）如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，）.（1）求抛物线的表达式.（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，点Q由点C出发沿CB边以1cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=PQ2(cm2).试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.,例23（2011福州22）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax3a(a0)图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BKAH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值,例24（10年杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=，点C的坐标为(4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.(1)写出点M的坐标；(2)当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.,有关几何图形面积问题,思路：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形的计算方法,注意：（1）一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边.（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形采用割或补的方法分解.（3）三角形面积=铅垂高度水平宽度四边形面积=铅垂高度水平宽度,例25（09陕西）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，OBOA,且OB=2OA，点A的坐标是（-1,2）。（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P，使得SABP=SABO,例26(2011.大连26)如图15，抛物线yax2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB求该抛物线的解析式；抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由。,例27（本小题满分13分）如图，抛物线经过A（4,0）、B（1,0）、C（0，-2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形OAC与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标.,例28如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P,Q分别从A,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0t时,PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,PQF为等腰三角形?请写出解答过程,2011年，关注了近年来的压轴题的几个热点：1、动点探索：动点问题是历年来“数形结合”的典型题，这类型问题探索性强，能够比较清楚地考查出学生对初中数学知识的综合运用的能力。2、分类讨论：学生的思维的深刻性得到了锻炼，通过分类讨论可以看出学生的思维是否周密。运算的精确性受到了挑战，在短短2小时的考场上，能够成功地拿下压轴还是有一定难度的。3、甄别性强：正因为时间紧、任务重、运算量大，这样才能让优秀的学生脱颖而出、鹤立鸡群。中考试题区分度得到了彰显。,二次函数应用问题时应该先将问题分类讲解1.应该先将问题分类讲解，以降低难度，便于学生理解。对于二次函数的分类没必要分的很细，老师可根据自己学生的具体情况进行分类。例如有的问题可分为运动问题、利润问题、面积问题等，2.再分别学习完这些类型后，及时总结，找到共性，从而让学生对这一部分的知识有更深的理解。开始分类学习综合问题有利于学生掌握规律，形成清晰的思路。,谢谢！,
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