高中数学 第2章 推理与证明 2_3 数学归纳法自我小测 苏教版选修2-21

高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法自我小测 苏教版选修2-21数列1,13,135,1357，的一个通项公式为_2用数学归纳法证明不等式2nn2成立时，n应取的第一个值为_3用数学归纳法证明不等式n314n1时，n所取的第一个值n0为_4用数学归纳法证明“1n(nN*，且n1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_5凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角线条数f(n1)与f(n)之间的关系为6用数学归纳法证明2n1n2n2(nN)时，第一步的验证为_7已知x1且x0，nN*，且n2，求证：(1x)n1nx.8用数学归纳法证明：15913(4n3)2n2n.9求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*.10已知函数(x0)设数列an满足a11，an1f(an)，数列bn满足bn|an|，用数学归纳法证明.参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k.5答案：f(n1)f(n)n1解析：如图，设凸n1边形为A1A2AnAn1，连结A1An，则凸n1边形的对角线是由凸n边形A1A2An的对角线加上A1An，再加上从An1点出发的n2条对角线，即f(n1)f(n)1n2f(n)n1.6答案：当n0时，201202022，结论成立7答案：证明：(1)当n2时，左边(1x)212xx2，x0，12xx212x.左边右边，不等式成立.(2)假设当nk时，不等式成立，即(1x)k1kx成立，则当nk1时，左边(1x)k1(1x)k(1x).x1，1x0.(1x)k(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx2.x0，1(k1)xkx21(k1)x.(1x)k11(k1)x成立，即当nk1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n2的正整数都成立.8答案：证明：(1)当n1时，左边1，右边1，命题成立.(2)假设nk(k1)时，命题成立，即15913(4k3)2k2k.则当nk1时，15913(4k3)(4k1)2k2k(4k1)2k23k12(k1)2(k1).当nk1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明：(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立.(2)假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2a1整除，故nk1时命题成立.根据(1)(2)知，对任意nN*，命题成立.10答案：证明：当x0时，f(x)11.因为a11，所以an1(nN*).下面用数学归纳法证明不等式.(1)当n1时，b11，不等式成立.(2)假设当nk(k1)时，不等式成立，即，那么bk1|ak1|.所以，当nk1时，不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意nN*都成立.