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第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,1,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,二重积分的概念与性质,第十章,2,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,3,播放,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,4,步骤如下：,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,5,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,6,二、二重积分的概念,7,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,8,对二重积分定义的说明：,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,9,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,10,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,11,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,12,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,13,14,15,例. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,16,解,17,解,18,例. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,19,解,20,例. 判断积分,的正负号.,解: 分积分域为,则,原式 =,猜想结果为负 但不好估计 .,舍去此项,21,解,22,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,23,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,24,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,25,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,26,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,27,3. 计算,解:,28,4. 证明:,其中D 为,解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,29,练 习 题,30,31,32,练习题答案,33,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,34,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,35,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,36,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,37,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,38,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,39,
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