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课时作业77直线与圆的位置关系1如图，AB是O的直径，MN与O切于点C，ACBC，则sinMCA_解析：由弦切角定理得，MCAABC，sinABC.答案：2如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若，则的值为_解析：PP，PCBPAD，PCBPAD，.答案：3如图，D是圆O的直径AB延长线上一点，PD是圆O的切线，P是切点，D30，AB4，BD2，PA_,)解析：连接PO，因为PD是O的切线，P是切点，D30，所以POD60，并且AO2，POA120，PO2，在POA中，由余弦定理知，PA2.答案：24如图，在ABC中，ABAC，C72，O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC1，则AC_,)解析：由题易知，CABC72，ADBC36，所以BCDACB，又易知BDADBC，所以BC2CDAC(ACBC)AC，解得AC2.答案：25(2015湖北卷)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC3PB，则_,)解析：由切割线定理知，PA2PBPCPB(PBBC)4PB2，则PA2PB，而PABPCA，所以.答案：6(2016天津月考)如图，以RtABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC6，AB8，则OE_,)解析：由题意，如图，连接OD，BD，则ODED，BDAD.OBOD，OEOE，RtEBORtEDO，EBED，EBDEDB.又EBDC90，EDBEDC90，CEDC，EDEC，EBEC.O是AB的中点，OEAC.直角边BC6，AB8，AC10，OE5.答案：57(2015广东卷)如图，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_,)解析：连接OC，由于EC是圆O的切线，OCDC，由题意知OC2，在RtDOC中，cosCOD.又ODBC，CODOCB，而OCB为等腰三角形，且OCOB2，BC1，cosOCBcosOBC，cosCOD，OD8.答案：88如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB_,)解析：PB切O于点B，PBAACB.又PBADBA，DBAACB，又A是公共角，ABDACB.，AB2ADACmn，AB.答案：9如图，两个等圆O与O外切，过O作O的两条切线OA，OB，A，B是切点，点C在圆O上且不与点A，B重合，则ACB_,)解析：连接OA，OB，OO，由O与O外切且半径相等得OAOO，又因OAOA，所以AOO30，同理BOO30，故AOB60，由四边形的内角和为360得AOB120，故ACBAOB60.答案：6010(2015江苏卷)如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.证明：因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.11如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形12(2015全国卷)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小解：(1)如图，连接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切线(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120.可得x，所以ACB60.(tanACB)1如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FBFC；(2)求证：FB2FAFD；(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC6 cm，求AD的长证明：(1)证明：因为AD平分EAC，所以EADDAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以DACFBC.因为EADFABFCB，所以FBCFCB，所以FBFC.(2)证明：因为FABFCBFBC，AFBBFD，所以FBAFDB，所以，所以FB2FAFD.(3)解：因为AB是圆的直径，所以ACB90，又EAC120，所以ABC30，DACEAC60，因为BC6，所以ACBCtanABC2，所以AD4(cm)2(2015新课标全国卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积解：(1)由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于E，F，所以AEAF，故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1，于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为()2(2)2.
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