高考数学基础突破 集合与函数 1 集合及其运算

2017年高考数学基础突破集合与函数1集合及其运算【知识梳理】1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集 合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符 号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n1个，真子集有2n1个(2)ABABAABB.【基础考点突破】考点1集合的含义与表示【例1】（1）下列各组对象：高一1班中年龄较大的男同学；联合国安理会常任理事国；2017年广州城市运动会的比赛项目； 的所有近似值；1,2,3,1能够组成集合的是_（2）已知集合A含有两个元素a3和2a1，若3A，则实数a的值为_【归纳总结】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题【变式训练】(1)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为()A3 B4 C5 D6(2)设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.考点2集合间的基本关系【例2】(1)设集合，则满足的集合B的个数是（ ）A.1 B.3 C.4 D.8(2)已知集合Ax|x23x2 0，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_【变式训练】(1)已知集合Ax|ylg(x3)，Bx|x4，则下列结论正确的是()AAB BAB CAB DBA（2）已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_（3）已知集合，若，则实数的取值集合为_考点3集合的运算命题点1并集、交集、补集的简单运算集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算此类题目首先应看清集合中的元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集、补集的定义直接观察或用图表示集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可以借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不再集合中时，应该用“空心圈”表示【例3】【2016高考新课标3】设集合 ，则（ ）(A) 2，3 (B)（- ，2 3,+） (C) 3,+） (D)（0，2 3,+）【点评】集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再利用数轴，根据交、并、补的定义进行运算【变式训练】（1）若集合，则_（2）集合，则_，_，_命题点2已知集合的交并集求参数的取值范围依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关集合交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法【例4】 已知，若，求a的取值范围【点评】由，则要考虑和两种情形，这样才不会漏解命题点3交并集性质的应用在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到，等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析，如，【例5】设，【点评】要注意条件等价转化的运用，常见转化有，命题点4补集的思想的应用对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解答时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探索已知与未知之间的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决【例6】若集合中最多有一个元素，求实数的取值范围【点评】集合A中的元素包含0个或1个，若采取分类讨论的策略，所分情况比较多，求解比较麻烦，构造其“补集”：集合A中含有两个元素，然后再求其补集，问题就得到了简化【基础练习】1【2015吉林三模】设全集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A B C D2.【2016四川高考】设集合，Z为整数集，则中元素的个数是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63【2016高考浙江理数】已知集合 则（ ）A2,3 B( -2,3 C1,2) D4已知集合，且，那么的值可以是（ ） A B C D5若集合，且，则实数的值为 【能力提升】1已知，则（ ）A B C D2已知集合，若，则等于（ ）A9 B8 C7 D63设集合，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D4已知集合，则实数的不同取值个数为（ ）A B C D5已知M=且，则（）A B C D【终极突破】1设常数,集合，若，则的取值范围为( )A.B.C. D.2集合，若中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（ ）A B C D3集合，集合，若动点，则的取值范围是（ ）A B C D 4已知集合，现给出下列函数：； ；若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是_2017年高考数学基础突破集合与函数1集合及其运算（学生版，后附教师版）【知识梳理】1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集 合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符 号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n1个，真子集有2n1个(2)ABABAABB.【基础考点突破】考点1集合的含义与表示【例1】（1）下列各组对象：高一1班中年龄较大的男同学；联合国安理会常任理事国；2017年广州城市运动会的比赛项目； 的所有近似值；1,2,3,1能够组成集合的是_（2）已知集合A含有两个元素a3和2a1，若3A，则实数a的值为_解：中的“年龄较大”、中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以不能组成集合中有两个数相等，不符合互异性，所以也不能组成集合中的对象都是确定的、互异的，所以可以组成集合故填. 【归纳总结】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题【变式训练】(1)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为()A3 B4 C5 D6(2)设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.【答案】(1)B(2)2【解析】(1)因为集合M中的元素xab，aA，bB，所以当b4时，a1,2,3，此时x5,6,7.当b5时，a1,2,3，此时x6,7,8，所以根据集合元素的互异性可知，x5,6,7,8.即M5,6,7,8，共有4个元素(2)因为1，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b1，所以ba2.考点2集合间的基本关系【例2】(1)设集合，则满足的集合B的个数是（ ）A.1 B.3 C.4 D.8(2)已知集合Ax|x23x2 0，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_【解析】（1），则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个故选C(2)由x23x2 0，解得1x2，故Ax|1x2 ，又Bx|xa，AB，得a2 .【例1】已知集合A=，B=，则（ ）A.A=B B.AB= C.AB D.BA【解析】因为集合A=,B=，所以BA，故选D 【评注】A是B的真子集，记作AB【变式1】已知集合若，则集合可以是（）A B C D1.C【解析】由子集概念，对于，都有，结合图象，应选C【变式训练】(1)已知集合Ax|ylg(x3)，Bx|x4，则下列结论正确的是()AAB BAB CAB DBA（2）已知集合Ax|log2x2，Bx|x3，Bx|x2，结合数轴可得：BA.（2）由log2x2，得0x4，即Ax|0x4，而Bx|x4.（3）或，解得，故实数的取值集合为.考点3集合的运算命题点1并集、交集、补集的简单运算集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算此类题目首先应看清集合中的元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集、补集的定义直接观察或用图表示集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可以借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不再集合中时，应该用“空心圈”表示【例3】【2016高考新课标3】设集合 ，则（ ）(A) 2，3 (B)（- ，2 3,+） (C) 3,+） (D)（0，2 3,+）【答案】D【解析】由解得或，所以，所以，故选D【点评】集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再利用数轴，根据交、并、补的定义进行运算【变式训练】（1）若集合，则_（2）集合，则_，_，_变式：【答案】（1）；（2），.【解析】（1）A、B的共同元素为4、7，所以（2）因为，在数轴上画出A、B，所以，.【点评】集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再利用数轴，根据交、并、补的定义进行运算变式：【答案】（1）；（2），.【解析】（1）A、B的共同元素为4、7，所以（2）因为，在数轴上画出A、B，所以，.【点评】集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再利用数轴，根据交、并、补的定义进行运算命题点2已知集合的交并集求参数的取值范围依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关集合交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法【例4】 已知，若，求a的取值范围【解析】由，（1）若，有，所以（2）若，如下图：，解得综上所述，的取值范围是【点评】由，则要考虑和两种情形，这样才不会漏解命题点3交并集性质的应用在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到，等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析，如，【例5】设，（1）若，求的值；（2）若，求的值【解析】（1），若，则，当时，；当时，；若，则，当时，若，则由得，（2），又因为B中最多只有两个元素，由（1）知【点评】要注意条件等价转化的运用，常见转化有，命题点4补集的思想的应用对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解答时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探索已知与未知之间的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决【例6】若集合中最多有一个元素，求实数的取值范围【解析】假设集合A中含有两个元素，即有两个不相等的实数根，则，解得且，则的取值范围是在全集中，集合的补集是，所以满足题意的的取值范围是【点评】集合A中的元素包含0个或1个，若采取分类讨论的策略，所分情况比较多，求解比较麻烦，构造其“补集”：集合A中含有两个元素，然后再求其补集，问题就得到了简化【基础练习】1【2015吉林三模】设全集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A B C D【答案】B【解析】，所以图中阴影部分所表示的集合是，故选B2【2016四川高考】设集合，Z为整数集，则中元素的个数是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由题意，故其中的元素个数为5，选C.3【2016高考浙江理数】已知集合 则（ ）A2,3 B( -2,3 C1,2) D【答案】B【解析】根据补集的运算得，所以.故选B4已知集合，且，那么的值可以是（ ） A B C D【答案】D【解析】，要包含所有的小于等于1的实数，因此，故选D.5若集合，且，则实数的值为 【答案】或或【解析】，由题意.当时，则.当时，要使，则，解得.综上所述，实数的值是或或.【能力提升】1【2015呼伦贝尔二模】已知，则（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以，所以=，故选C2【2015济南市高三上学期期末】已知集合，若，则等于（ ）A9 B8 C7 D6【答案】C【解析】，若，则，则，故选C.3设集合，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】，因为，所以，解得：，所以实数的取值范围是，故选A4已知集合，则实数的不同取值个数为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意，所以或，解得：或或，所以实数的不同取值个数为，故选B5已知M=且，则（）A B C D【答案】A【解析】集合M表示去掉一点的直线，集合表示恒过定点的直线，因为M，所以两直线要么平行，要么直线过点因此或，即或-2，故选A.【终极突破】1设常数,集合，若，则的取值范围为( )A.B.C. D.【答案】B【解析】集合A讨论后利用数轴可知，或，解得，所以的取值范围是，故选B.2集合，若中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由可得或由解得由韦达定理可得根据题意中恰含有一个整数u，所以或(舍去由于与很接近)即，解得，所以实数的取值范围是，故选B3集合，集合，若动点，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】集合表示平面内由点，构成的正方形与点，围成的正方形，看作点距离的平方，结合坐标系可知的取值范围是，故选A4已知集合，现给出下列函数：； ；若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是_【答案】.【解析】依题表示整个平面直角坐标系区域，表示如图所示的平面区域，表示平面直角坐标系上函数的曲线，若时，恒有，则与无公共点，依题可知函数的曲线与均无公共点，对于，当时，又因为，所以曲线上的点必定在表示的平面区域内，即，故应填入.【基础练习】1【2015吉林三模】设全集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A B C D【答案】B【解析】，所以图中阴影部分所表示的集合是，故选B2【2016四川高考】设集合，Z为整数集，则中元素的个数是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由题意，故其中的元素个数为5，选C.3【2016高考浙江理数】已知集合 则（ ）A2,3 B( -2,3 C1,2) D【答案】B【解析】根据补集的运算得，所以.故选B4已知集合，且，那么的值可以是（ ） A B C D【答案】D【解析】，要包含所有的小于等于1的实数，因此，故选D.5若集合，且，则实数的值为 【答案】或或【解析】，由题意.当时，则.当时，要使，则，解得.综上所述，实数的值是或或.【能力提升】1【2015呼伦贝尔二模】已知，则（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以，所以=，故选C2【2015济南市高三上学期期末】已知集合，若，则等于（ ）A9 B8 C7 D6【答案】C【解析】，若，则，则，故选C.3设集合，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】，因为，所以，解得：，所以实数的取值范围是，故选A4已知集合，则实数的不同取值个数为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意，所以或，解得：或或，所以实数的不同取值个数为，故选B5已知M=且，则（）A B C D【答案】A【解析】集合M表示去掉一点的直线，集合表示恒过定点的直线，因为M，所以两直线要么平行，要么直线过点因此或，即或-2，故选A.【终极突破】1设常数,集合，若，则的取值范围为( )A.B.C. D.【答案】B【解析】集合A讨论后利用数轴可知，或，解得，所以的取值范围是，故选B.2集合，若中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由可得或由解得由韦达定理可得根据题意中恰含有一个整数u，所以或(舍去由于与很接近)即，解得，所以实数的取值范围是，故选B3集合，集合，若动点，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】集合表示平面内由点，构成的正方形与点，围成的正方形，看作点距离的平方，结合坐标系可知的取值范围是，故选A4已知集合，现给出下列函数：； ；若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是_【答案】.【解析】依题表示整个平面直角坐标系区域，表示如图所示的平面区域，表示平面直角坐标系上函数的曲线，若时，恒有，则与无公共点，依题可知函数的曲线与均无公共点，对于，当时，又因为，所以曲线上的点必定在表示的平面区域内，即，故应填入.