高考数学二轮复习 第3部分 几何证明选讲考点整合 选修4-1 文

选修41几何证明选讲考点整合1(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(2)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项2(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数3(1)圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆4(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项类型一三角形相似及应用例1(2016高考全国甲卷)如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DEDG，过D点作DFCE，垂足为F.(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积解：(1)证明：因为DFCE，所以DEFCDF，则有GDFDEFFCB，所以DGFCBF，由此可得DGFCBF，因此CGFCBF180，所以B，C，G，F四点共圆(2)由B，C，G，F四点共圆，CGCB知FGFB.如图，连接GB.由G为RtDFC斜边CD的中点，知GFGC，故RtBCGRtBFG，因此，四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍，即S2SGCB21.解后反思本题在证明四点共圆之后，不要试图在已知图形中画出圆，而要通过想象圆的位置，利用圆的性质进行解题，否则可能会由于图形过于复杂而影响解题思路1如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA10，PB5，BAC的平分线与BC和圆O分别交于D和E两点(1)求证：；(2)求ADAE的值解：(1)证明：PA为圆O的切线，PABACP，又P为公共角，PABPCA，.(2)PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，PA2PBPC，即1025PC，PC20，BC15.又CAB90，AC2AB2BC2225.又由(1)知，AC6，AB3，如图，连接EC，则AECABC，又CAEEAB，ACEADB，ADAEABAC3690.类型二圆的有关性质例2(2016高考全国乙卷)如图，OAB是等腰三角形，AOB120.以O为圆心，OA为半径作圆(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.证明：(1)如图，设E是AB的中点，连接OE.因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60.在RtAOE中，OEAO，即O到直线AB的距离等于O的半径，所以直线AB与O相切(2)连接OD，因为OA2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心设O是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.同理可证OOCD所以ABCD.解后反思解此类题的关键：一是熟记直线与圆相关的性质，解题才有路；二是注意数形结合思想的转化2(2016高考全国丙卷)如图，O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点(1)若PFB2PCD，求PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OGCD.解：如图，连接PB，BC，则BFDPBABPD，PCDPCBBCD.因为，所以PBAPCB.又BPDBCD，所以BFDPCD.又PFBBFD180，PFB2PCD，所以3PCD180，因此PCD60.(2)证明：因为PCDBFD，所以EFDPCD180，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上又O也在CD的垂直平分线上，因此OGCD.