高考数学二轮复习 第3部分 不等式选讲考点整合 选修4-5 文

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选修45不等式选讲考点整合1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a;(2)|f(x)|a(a0)af(x)a;(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;2绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式3基本不等式定理1:设a,bR,则a2b22ab.当且仅当ab时,等号成立定理2:如果a,b为正数,则,当且仅当ab时,等号成立定理3:如果a,b,c为正数,则,当且仅当abc时,等号成立定理4:(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1、a2、an为n个正数,则,当且仅当a1a2an时,等号成立4柯西不等式(1)设a,b,c,d为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时等号成立(2)若ai,bi(iN*)为实数,则(a)(b)(aibi)2,当且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,n)时,等号成立(3)柯西不等式的向量形式:设,为平面上的两个向量,则|a|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立类型一绝对值不等式例1(2016高考全国乙卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集解:(1)f(x)|x1|2x3|故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,当f(x)1时,可得x1或x3;当f(x)1时,可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3,f(x)1的解集为. 解后反思根据绝对值的意义,分段讨论去绝对值号1(2016高考全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)|2x1|,当xR时,f(x)g(x)3,求a的取值范围解:(1)当a2时,f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a,当x时等号成立,所以当xR时,f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时,等价于1aa3,无解当a1时,等价于a1a3,解得a2.所以a的取值范围是2,)类型二不等式证明例2(2016高考全国甲卷)已知函数f(x),M为不等式f(x)2的解集(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|ab|1ab|.解:(1)f(x)当x时,由f(x)2得2x2,解得x1;当x时,f(x)2;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明:由(1)知,当a,bM时,1a1,1b1,从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|. 解后反思不等式的证明可以用综合法、作差法、分析法等2设a,b,c,d均为正数,且abcd,证明:(1)若abcd,则;(2)是|ab|cd|的充要条件证明:(1)因为()2ab2,()2cd2,由题设abcd,abcd,得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|,则(ab)2(cd)2,即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd,所以abcd.由(1)得 .若 ,则()2()2,即ab2cd2.因为abcd,所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上, 是|ab|cd|的充要条件限时规范训练十选修41、44、45(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)1如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:(1)BEEC;(2)ADDE2PB2.证明:(1)连接AB,AC,由题设知PAPD,故PADPDA,因为PDADACDCA,PADBADPAB,DCAPAB,所以DACBAD,从而,因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC,所以DC2PB,BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC,所以ADDE2PB2.2.(2015高考全国卷)如图,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点(1)证明:EFBC;(2)若AG等于O的半径,且AEMN2,求四边形EBCF的面积解:(1)证明:由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AEAF,故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知,AEAF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦,所以O在AD上连接OE,OM,则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE,所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2,所以AO4,OE2.因为OMOE2,DMMN,所以OD1.于是AD5,AB.所以四边形EBCF的面积为2(2)2.3(2015高考全国卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积解:(1)因为xcos ,ysin ,所以C1的极坐标方程为cos 2,C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.4已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围解:(1)直线l的普通方程为2xy2a0,圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d4,解得2a2.5设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范围解:(1)证明:由a0,得f(x)|xa|a2,所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时,f(3)a,由f(3)5得3a.当0a3时,f(3)6a,由f(3)5得a3.综上,a的取值范围是.6若a0,b0,且.(1)求a3b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a3b6?并说明理由解:(1)由,得ab2,且当ab时等号成立故a3b324,且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)不存在a,b,使得2a3b6.理由如下:由知,2a3b24.由于46,从而不存在a,b,使得2a3b6.
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