高考数学三轮增分练(二)直线与圆锥曲线(2)文

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资源描述
(二)直线与圆锥曲线(2)1(2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x2)2(y3)21交于M,N两点(1)求k的取值范围;(2)若12,其中O为坐标原点,求MN.解(1)由题设,可知直线l的方程为ykx1,因为l与C交于两点,所以1,解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21,整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2,x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812,解得k1,所以l的方程为yx1.故圆心C在l上,所以MN2.2(2015课标全国)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,点(2,)在C上(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值(1)解由题意得,1,解得a28,b24.所以C的方程为1.(2)证明设直线l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)将ykxb代入1,得(2k21)x24kbx2b280.故xM,yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM,即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值3(2016江苏省南京市高三第三次模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,点(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与圆O:x2y22相切,与椭圆C相交于P,Q两点. 若直线l过椭圆C的右焦点F,求OPQ的面积;求证: OPOQ. (1)解由题意,得,1,又a2b2c2,解得a26,b23.所以椭圆C的方程为1.(2)解椭圆C的右焦点F(,0)设切线方程为yk(x),即kxyk0,所以,解得k,所以切线方程为y(x). 当切线方程为y(x)时,由方程组解得或所以PQ.因为O到直线PQ的距离为,所以OPQ的面积为. 因为椭圆的对称性,当切线方程为y(x)时,OPQ的面积也为.综上所述,OPQ的面积为.证明()若直线PQ的斜率不存在,则直线PQ的方程为x或x.当x时,P (,),Q(,)因为0,所以OPOQ.当x 时,同理可得OPOQ. ()若直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为ykxm,即kxym0.因为直线与圆相切,所以,即m22k22.将直线PQ方程代入椭圆方程,得(12k2)x24kmx2m260.设P(x1,y1) ,Q(x2,y2),则有x1x2,x1x2. 因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)km()m2.将m22k22代入上式可得0,所以OPOQ.综上所述,OPOQ. 4(2016浙江)如图,设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM,由得(1a2k2)x22a2kx0,故x10,x2,因此AM|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足APAQ.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知AP,AQ,故,所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由k1k2,k1,k20得1kka2(2a2)kk0,因此1a2(a22),因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1,所以a.因此任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a,由e,得0e.所以离心率的取值范围为(0,
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