资源描述
单摆疱丁巧解牛知识巧学一、单摆的回复力1.单摆 用一根不可伸长且不计质量的细线，悬挂一直径可忽略的小球所组成的装置，叫做单摆.要点提示 单摆是实际摆的理想化模型.2.实际摆看作单摆的条件（1）摆线的形变量与摆线长度相比小得多，悬线的质量与摆球质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线.（2）摆球的直径与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点.学法一得 某一物理量是否可以略去不计，是相对而言的，为了满足上述条件应尽量减小空气阻力对它的影响，我们组成单摆的摆球应选择质量大而体积小的球，线应选择尽量细而轻且弹性小的线.3.单摆的回复力（1）单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力F=mgsin提供的.（2）单摆在摆角很小时做简谐运动. 如图11-4-1所示，摆球受重力mg和绳子拉力F两个力作用，将重力按切线方向、径向正交分解，则绳子的拉力F与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F提供了摆球振动所需的回复力F=mgsin.图11-4-1 设单摆的摆长为l，在最大偏角很小的条件下，摆球对O点的位移x的大小，与角所对的弧长，角所对的弦长都近似相等，即x=OP. 若摆角用弧度表示，则由数学关系知：sin= 所以重力沿切向分力F=mgsinmg 令k=，则F=kx 因为F的方向可认为与x方向相反，则F回=-kx 由此可见单摆在摆角很小条件下的振动为简谐运动.误区警示 单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力.摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力.所以并不是合外力完全用来提供回复力的.因此摆球经平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零.（此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力）4.单摆的运动特点（1）摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动，做圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与重力的径向分量的合力提供.（2）摆球同时以最低点为平衡位置做振动，做振动需要回复力，由摆球重力的切向分力提供（或摆球所受合外力沿圆弧切向分力提供）.二、单摆的周期1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式，并发明了摆钟.2.单摆的周期公式：T=2.（1）单摆的周期T=2为单摆的固有周期，相应地f=为单摆的固有频率，即周期与振幅与摆球质量无关，只与摆长l及单摆所在地的重力加速度有关.（2）单摆的周期公式最大偏角很小时成立（达5时，与实际测量值的相对误差为0.01%）.（3）单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，l应为单摆的摆长.因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度.对于不规则的摆动物体或复合物体，摆长均为从悬点到摆动物体重心的长度.而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长.3.秒摆：周期为2 s的单摆，叫做秒摆.三、用单摆测定重力加速度1.原理 由单摆周期公式T=2可得重力加速度g= 据此只要测出单摆摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度值.2.器材 铁架台及铁夹、金属小球（最好上面有一个通过球心的小孔）、秒表、细线（1 m左右）、刻度尺（最小刻度为 mm）、游标卡尺.学法一得 选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m，小球应选用密度较大的金属球直径应较小，最好不超过2 cm.3.实验步骤（1）让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆.（2）将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.误区提示 单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象.（3）用刻度尺和游标卡灭测量单摆的摆长（摆线静挂时从悬点到球心间的距离）.（4）把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不大于10，再释放小球，当摆球摆动稳定以后，过最低位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次（或50次）的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期.学法一得 注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10，可通过估算振幅的办法掌握；计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次（如30次或50次）全振动的时间，用取平均值的办法求周期.误区警示 摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆.（5）改变摆长，反复测量三次，算出对应的周期T及测得的摆长l代入公式g=，求出重力加速度的值，然后求g的平均值.学法一得 数据处理既可以采用计算取平均值的方法，也可以作出T2-l的图象，据图象求解重力加速度. 由l=T2知，图象应该是一条过原点的直线，且斜率k=所以求出线的斜率k，可得重力加速度g=42k.典题热题知识点一 单摆模型例1单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是 ( )A.摆线质量不计B.摆线长度不伸缩C.摆球的直径比摆线长度短得多D.主要是单摆的运动就是一种简谐运动解析：单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C三项正确.但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小（10）的情况下才能视单摆运动为简谐运动.答案：ABC例2下列关于单摆的说法，正确的是( )A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A（A为振幅），经过正向最大位移处又运动到平衡位置时的位移为-AB.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿运动轨迹切线方向的分力D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，摆球的回复力由合力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分力）提供，合力沿摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点（振动的平衡位置）时回复力为零，但向心力不为零，所以加速度不为零（摆球到最高点时，向心力不为零，回复力最大，合力也不为零）.答案：C深化升华 做简谐运动的物体在平衡位置处回复力为零，但合外力不一定为零，因此不能说平衡位置就是受力平衡的位置.弹簧振子经过平衡位置时所受合力为零，故加速度为零，但单摆经过平衡位置时合力不为零，只是回复力为零.所以存在加速度，即向心加速度.知识点二 单摆的周期公式例3一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的一半，则单摆的( )A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变C.频率改变，振幅不变 D.频率改变，振幅不变解析：决定单摆周期的是摆长和当地的重力加速度，与质量无关，与单摆的运动速度也无关.当然频率也与质量和速度无关，所以选项C、D错误.决定振幅的是外来因素.反映在单摆的运动中，可以从能量去考虑，在平衡位置（即最低点）时的动能.当质量增为原来的4倍，速度减为原来的一半时，动能不变，最高点的重力势能也不变.但是又因第二次摆球的质量增大了（实际上单摆已经变成另一个摆动过程了），势能不变，质量变大了，摆动的竖直高度就一定变小了，也就是说，振幅变小了.答案：B方法归纳 本题的分析解答提醒我们：一是要考虑全面，本题中的质量和速度两因素的变化对确定的单摆振动究竟会产生怎样的影响，要进行全面分析；二是分析问题时要有充分的理论依据，如本题中决定单摆振动的频率的因素应以周期公式为依据，而不能以速度判定振动的快慢，振幅应以动能和势能之间的相互转化为依据.例4有一单摆，其摆长l=1.02 m，摆球的质量m=0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t=60.8 s，试求：（1）当地的重力加速度是多大？（2）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？解析：用振动30次的时间，计算出周期，再利用单摆的周期公式变形后可解得当地的重力加速度.要改为秒摆，需要改变摆长，是周期变成2 s.答案：（1）当单摆做简谐运动时，其周期公式T=2，由此可得g=4 2l/T2，只要求出T值代入即可. 因为T= s=2.027 s， 所以g=42l/T2=(43.1421.02)/2.0272 m/s2=9.79 m/s2.（2）秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：=， 故有：l0=m=0.993 m. 其摆长要缩短l=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m.方法归纳 单摆的周期公式T=2是在当单摆的最大偏角小于10，单摆的振动是在简谐运动的条件下才适用的。改变单摆的摆长能改变单摆的周期，同一单摆在重力加速度不同的两地周期也不相同，单摆的周期与单摆的振幅无关，与摆球的质量也无关，另外根据周期公式的变形式g=还可以测重力加速度.知识点三 单摆周期公式与匀变速直线运动结合例5将一水平木板从一沙摆（可视为简谐运动的单摆）下面以a=0.2 m/s2的加速度匀加速地水平抽出，板上留下的沙迹如图11-4-2所示，量得=4 cm,=9 cm,=14 cm，试求沙摆的振动周期和摆长.（g=10 m/s2）图11-4-2解析：根据单摆振动的等时性得到、三段位移所用的时间相同，由匀变速直线运动规律s=aT2计算可得.答案：由s=aT2T=s=0.5 s 振动周期T=2T=1 s 由单摆公式T=2得L=0.25 m.知识点四 等效重力加速度例6试确定下列几个摆球在平衡位置附近来回振动的周期.（1）如图11-4-3甲所示.悬挂在水平横梁上的双线摆球.摆线长为l，摆线与水平横梁夹角；（2）如图11-4-3乙所示.光滑斜面上的摆球.斜面倾角为，摆线长为l；（3）如图11-4-3丙所示.悬挂在升降机中的单摆，摆长为l，升降机以加速度a竖直向上做匀加速运动.图11-4-3解析：（1）双线摆在垂直于纸面的竖直面里做简谐运动，等效摆长为lsin，故振动周期为T=2；（2）摆球在光滑的斜面上来回振动，回复力由小球重力沿斜面向下的分力mgsin决定，等效重力加速度为gsin，其振动周期为T=2；（3）升降机竖直向上做匀加速运动时，摆球“超重”，回复力由m(g+a)决定，等效重力加速度为g+a，摆球振动周期为T=2.答案：（1）T=2 （2）T=2 （3）T=2方法归纳 当实际摆不是理想单摆时，可以通过等效变换将其转换为理想单摆，在利用公式T=2计算周期时，l对应等效摆长，对应等效重力加速度.等效重力加速度的求法是：假设摆球不振动，静止时绳子的拉力对应等效重力，其对应的加速度即为等效重力加速度.知识点五 类单摆问题例7 如图11-4-4所示，光滑的半球壳半径为R,O点在球心的正下方，一小球由距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，小球由多高处自由落下（）.图11-4-4解析：球由点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动，因为OAR,所以球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等.答案：小球由A点由静止释放运动到O点的时间为（2n-1）,n=1,2,3，由于O点正上方自由落下的小球到O的时间也为(2n-1)时两球才能在O点相碰，所以h=gt2=g(2n-1)2=(n=1,2,3，)方法归纳 解此题关键在于沿光滑圆弧运动的小球运动性质，小球受重力、轨道支持力，此支持力类似单摆中的摆线拉力，故此装置可称为类单摆，其周期为2，R为等效摆长.问题探究思维发散探究问题 如何理解公式T=2中的“g”？探究过程：单摆的周期公式T=2是惠更斯从实验中总结出来的，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度（gsina）越大，由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力，在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.1.公式中的g由单摆所在的空间位置决定. 由G=g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.2.g还由单摆系统的运动状态决定，如果摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g=g+a；再如，单摆若在轨道上运动的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值g=0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了.3.g还由单摆所处的物理环境决定.如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有-g的问题. 在均匀场中g值等于摆球在平衡位置不摆动时摆线的张力与摆球质量的比值，由此找到等效重力加速度g代入公式即可求得周期T.探究结论:观点一：公式中的g由单摆所在的空间位置决定. 观点二：g还由单摆系统的运动状态决定. 观点三：g还由单摆所处的物理环境决定.方案设计探究问题 探究单摆的周期跟哪些因素有关？探究过程：1.猜想：由于周期只与单摆系统本身的因素有关，所以猜想影响单摆周期的因素为：细线的长度、小球的质量、小球摆到最高位置时绳子与竖直方向的夹角（或振幅）.2.方法：控制变量法.3.过程:（1）摆长、摆球质量不变，改变摆球的偏角（偏角都很小），测出不同偏角时单摆的周期，设计表格并记录实验数据.（2）摆长、摆角不变，改变摆球质量，测出不同质量时单摆的周期，设计表格并记录实验数据.（3）摆球质量、摆角不变，改变摆长，测出不同摆长时单摆的周期，设计表格并记录实验数据.4.分析论证：分别以细绳的摆长、小球的质量、摆角为横坐标，相应的周期为纵坐标作图，总结三个因素对单摆周期的影响.探究结论:单摆的周期跟摆长有关，跟摆球质量、摆角无关.
展开阅读全文