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2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 函数的最大(小)值与导数高效测评 新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分,共20分)1下列结论中正确的是()A在区间a,b上,函数的极大值就是最大值B在区间a,b上,函数的极小值就是最小值C在区间a,b上,函数的最大值、最小值在xa和xb处取到D在区间a,b上,函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值解析:由函数最值的定义知A,B,C均不正确,D正确,故选D.答案:D2设函数g(x)x(x21),则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1B0CD解析:g(x)x3x,由g(x)3x210,解得x1,x2(舍去)当x变化时,g(x)与g(x)的变化情况如下表:x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时,g(x)有最小值g.答案:C3函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()A0a1B0a1C1a1D0a解析:f(x)3x23a,令f(x)0,可得ax2,又x(0,1),0a1在区间(1,)内恒成立,则实数a的取值范围是()A(,1)B(,1C(1,)D1,)解析:f(x)axln x,f(x)1在(1,)内恒成立,a在(1,)内恒成立设g(x),x(1,)时,g(x)0,即g(x)在(1,)上是减少的,g(x)1)在区间1,1上的最大值为1,最小值为2,则f(x)的解析式为_解析:f(x)3x23ax,令f(x)0,得x10,x2a,a1,f(x)在1,0上为增函数,在0,1上为减函数f(0)b1,f(1)a,f(1)2a,f(1)f(1),f(1)a2,a.f(x)x32x21.答案:f(x)x32x216设函数f(x)ax33x1(xR),若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立,则实数a的取值范围为_解析:x(0,1,f(x)0可化为a.设g(x),则g(x).令g(x)0,得x.当0x0;当x1时,g(x)0.g(x)在(0,1上有极大值g4,它也是最大值,a4.答案:4,)三、解答题(每小题10分,共20分)7求下列各函数的最值:(1)f(x)x2(x0),g(x)x3bx.当a3,b9时,若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围解析:记h(x)f(x)g(x)当a3,b9时,h(x)x33x29x1,h(x)3x26x9.令h(x)0,得x13,x21.当x变化时,h(x)与h(x)在(,2上的变化情况如下:x(,3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知:当k3时,函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28;当3k2时,函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此,k的取值范围是(,3 9(10分)已知函数f(x)x3ax2bxc(a,b,cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x2,6时,f(x)2|c|恒成立,求c的取值范围解析:(1)f(x)3x22axb,函数f(x)在x1和x3处取得极值,1,3是方程3x22axb0的两根(2)由(1)知f(x)x33x29xc,f(x)3x26x9.当x变化时,f(x),f(x)随x的变化如下表:x(,1)1(1,3)3(3,)f(x)00f(x)极大值c5极小值c27而f(2)c2,f(6)c54,x2,6时,f(x)的最大值为c54,要使f(x)2|c|恒成立,只要c542|c|即可,当c0时,c5454.当c0时,c542c,c18,c的取值范围为c54.
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