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第五章数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若z，则复数()A2iB2iC2iD2i解析：zi(12i)2i，2i.答案：D2i2 011i2 012在复平面内表示的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：i2 011i2 012i11i，表示的点在第四象限答案：D3若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值为()A1B1C1D以上都不对解析：复数为纯虚数，解得x1.答案：A4在复平面时，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数为()A12iB12iC34iD34i解析：13i2i34i，故选D.答案：D5在复平面内，若复数zm2(1i)m(4i)6i所对应的点在第二象限内，则实数m的取值范围是()A(0,3)B(2,0)C(3,4)D(10,2)解析：z(m24m)(m2m6)i，则，解得3m4.答案：C6给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数；(2)满足|zi|zi|2的复数z的轨迹是椭圆；(3)若mZ，i21，则imim1im2im30.其中正确命题的序号是()A(1)B(2)(3)C(1)(3)D(1)(4)解析：(1)显然正确；(2)中复数z表示的点到i和i表示的点的距离的和为2，其轨迹是线段，故(2)错；(3)中，imim1im2im3imim1imim10，故(3)正确答案：C7设复数z满足i，则|1z|等于()A0B1C.D2解析：i，1zizi.(1i)z1i.zi.|1z|1i|.答案：C8如果复数z3ai满足条件|z2|2，那么实数a的取值范围为()A(2，2)B(2,2)C(1,1)D(，)解析：|z2|3ai2|2，a23，a.答案：D9若zcos isin (i为虚数单位)，则使z21的值可能是()A.B.C.D.解析：z2cos2sin22sin cos icos 2isin 21.，22k，即k(xZ)答案：D10设f(z)1，z123i，z25i，则f()等于()A44iB44iC44iD44i解析：z1z223i(5i)34i34i，f()1(34i)44i.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11若复数z12i(i为虚数单位)，则zz_.解析：z12i，z|z|25.zz62i.答案：62i12复数z12mi，z2mm2i，若z1z20，则实数m_.解析：z1z2(2mi)(mm2i)(m)(m22m)i.z1z20，z1z2为实数且大于0.解得m2.答案：213定义运算adbc，若复数z符合条件32i，则z_.解析：由定义运算可知2ziz32i，z.答案：14已知复数z1、z2满足：|z1|1，且z2在复平面中对应的点在直线4x3y100上，则|z1z2|的最小值是_解析：由复数及模的几何意义，知|z1z2|表示单位圆上的点与直线4x3y100上点的距离由图知|z1z2|min111.答案：1三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知复数z(2i)m22(1i)求实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数解析：由于mR，复数z可以表示为z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i.(1)当即m2时，z为零(2)当m23m20，即m2且m1时，z为虚数(3)当即m时，z为纯虚数(4)当2m23m2(m23m2)，解得m0或m2(舍去)，即m0时，z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数16(本小题满分12分)已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解析：(z12)(1i)1i，z12i.设z2a2i，aR，z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.17(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1(a210)i，z2(2a5)i(其中aR)，若z1z2可以与任意实数比较大小(1)求向量对应的复数；(2)设Z1、Z2中点为Z，求|.解析：(1)z1z2(a2102a5)i(a22a15)i；z1z2可与任意实数比较大小，z1z2为实数，解得a3.z1i，z21i向量对应的复数为(1i)2i.(2)Z1Z2的中点Z对应的复数为z，| .18(本小题满分12分)已知复数z1i(1i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解析：(1)z1i(1i)3i(2i)(1i)2(1i)，|z1|2.(2)方法一：|z|1，设zcos isin ，|zz1|cos isin 22i| .当sin1时，|zz1|取得最大值，从而得到|zz1|的最大值21.方法二：如图所示，由|z|1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，2)所以|zz1|的最大值可以看成是点Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知|zz1|max|z1|r(r为圆半径)21.
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