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课时提升作业(二十七)指数型、对数型函数模型的应用举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林()A.14400亩B.172800亩C.17280亩D.20736亩【解析】选C.设第x年造林y亩,则y=10000(1+20%)x-1,所以x=4时,y=100001.23=17280(亩).2.(2015四平高一检测)某化工厂2014年的12月份的产量是1月份产量的n倍,则该化工厂这一年的月平均增长率是()A.B.C.-1D.-1【解析】选D.设月平均增长率为x,第一个月的产量为a,则有a(1+x)11=na,所以1+x=,所以x=-1.3.(2015长沙高一检测)在一次教学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:x-2.00-1.0001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x,y的函数关系与下列各类函数中最接近的是(其中a,b为待定系数)()A.y=a+B.y=a+bxC.y=a+logbxD.y=abx【解析】选D.因为f(0)=1,所以A.y=a+,C.y=a+logbx不符合题意.先求y=a+bx,由得所以y=1+1.02x,当x=-2时,1+1.02(-2)=-1.04,不满足题意,选项B错误.下面求y=abx,由得所以y=2.02x,满足题意,选项D正确.4.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2xB.y=C.y=D.y=0.2+log16x【解题指南】利用所给函数,分别令x=1,2,3,计算相应的函数值,即可求得结论.【解析】选C.对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16;对于B,x=1时,y=0.3;x=2时,y=0.8;x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意;对于C,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较,更符合题意;对于D,x=1时,y=0.2;x=2时,y=0.45;x=3时,y0.6,相差较大,不符合题意.5.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如表:x123y138则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是()A.y=2x-1B.y=x2-1C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2【解析】选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,可知应选D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015镇江高一检测)某细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),则这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过小时.【解析】设共分裂了x次,则有2x=4096,即2x=212,所以x=12.所用的时间为15分钟12=180分钟=3小时.答案:37.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t=.(已知lg50.699,lg30.477)【解析】当N=40时,则t=-144lg=-144lg=-144(lg5-2lg3)36.72.答案:36.728.(2015扬州高一检测)现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好.(填“甲”或“乙”)【解析】图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象如图所示,比较发现选甲更好.答案:甲三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种新式杀菌剂,每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的60%,要使该物质上的细菌少于原来的0.1%,则至少要喷洒多少次?(lg20.3010)【解析】设喷洒x次,该物质上原有细菌为a,则a(1-60%)x0.1%a,即(1-60%)x0.1%,xlg0.4=7.5,故至少要喷洒8次.10.某工厂今年1月,2月,3月,4月生产某种产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,1.37万件,为了以后估计每个月的产量,以1,2两个月的产品数据为依据.用一个函数模型模拟产品的月产量y与月份数x的关系,模拟函数可选用f(x)=-0.05x2+qx+r或g(x)=a0.5x+c,其中q,r,a,c为常数,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?说明理由.【解析】用g(x)=a0.5x+c作为模拟函数较好,理由如下:f(x)=-0.05x2+qx+r由f(1)=1,f(2)=1.2得q=0.35,r=0.7,f(3)=1.3,f(4)=1.3;而对于g(x)=a0.5x+c,由g(1)=1,g(2)=1.2,得a=-0.8,c=1.4,g(3)=1.3,g(4)=1.35,所以用g(x)=a0.5x+c作为模拟函数较好.【拓展延伸】函数建模的基本思想(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015舟山高一检测)若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是()A.y=B.y=C.y=D.y=1-(0.0424【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的t%,则有95.76%=1(1-t%)100,t%=1-,所以y=(1-t%)x=(0.9576.2.一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于()A.lgB.lgC.D.【解析】选C.由题意得a(1-8%)t=,所以0.92t=0.5.两边取对数得lg0.92t=lg0.5,所以tlg0.92=lg0.5.故t=.【误区警示】解答本题容易因忽视利用两边取对数的方法求出t的值而致误.另外对数的运算性质应用不当也易导致出错.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015鹰潭高一检测)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000ln.当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12000米/秒.【解析】当v=12000时,2000ln=12000,所以ln=6,所以=e6-1.答案:e6-1【补偿训练】用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是.【解题指南】先将污垢原量视为单位1,再把洗x次后污垢含量表示出来,列出不等式,最后解不等式求出.【解析】选B.设要洗x次,则,所以x3.32,因此至少要洗4次.答案:44.(2015邵武高一检测)如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y=at,有以下几种说法:这个指数函数的底数为2;第5个月时,浮萍面积就会超过30m2;浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;浮萍每月增加的面积都相等.其中正确的命题序号是.【解析】由图象知,t=2时,y=4,所以a2=4,故a=2,正确.当t=5时,y=25=3230,正确,当y=4时,由4=知t1=2,当y=12时,由12=知t2=log212=2+log23.t2-t1=log231.5,故错误;浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,错误.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1),则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-.(2)设经过m年,森林剩余面积为原来的,则a(1-x)m=a,即=,=,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.【延伸探究】本题条件不变的情况下,问今后最多还能砍伐多少年?【解析】设从今年开始,以后砍n年,则n年后森林剩余面积为a(1-x)n.令a(1-x)na,即(1-x)n,可得,解得n15,故今后最多还能砍伐15年.6.(2015十堰高一检测)某地区大力加强对环境污染的治理力度,使地区环境污染指数逐年下降,自2010年开始,连续6年检测得到的数据如表:年份2010年2011年2012年2013年2014年2015年环境污染指数2.0001.5951.2781.0240.8190.655根据这些数据,建立适当的函数模型,预测2021年的环境污染指数.(精确到0.1)(参考数据:0.83=0.512,0.84=0.410,0.85=0.328,0.810=0.107)【解析】设年份为变量x,且2010年为0,2011年为1,2015年为5,环境污染指数为y.作出年份x与环境污染指数y的散点图(略).由散点图可设函数模型为y=abx.取(0,2.000),(5,0.655)代入得所以所以函数模型为y=20.8x.令x=11,得y=20.8110.2.故预测2021年该地区的环境污染指数约为0.2.
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