高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 学业分层测评12 数学归纳法 新人教A版选修4-5

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 学业分层测评12 数学归纳法 新人教A版选修4-5 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于()A.B.C. D.【解析】因为f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).故选D.【答案】D2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1 B2C3D.0【解析】边数最少的凸n边形是三角形【答案】C3已知a1，an1，猜想an等于() 【导学号：32750066】A. B.C. D.【解析】a2，a3，a4，猜想an.【答案】D4用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)时，从“k到k1”左边需增乘的代数式是()A2k1 B.C2(2k1) D.【解析】当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1)【答案】C5记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)等于f(k)加上()A. BC2 D.【解析】从nk到nk1时，内角和增加.【答案】B二、填空题6观察式子11,14(12)，149123，猜想第n个式子应为_【答案】14916(1)n1n2(1)n17用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_【解析】nk时，命题为“12222k12k1”，nk1时为使用归纳假设，应写成12222k12k2k12k2k11.【答案】12222k12k2k118用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被14整除，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1应变形为_【解析】34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.【答案】81(34k152k1)5652k1三、解答题9用数学归纳法证明：(n2，nN)【证明】(1)当n2时，左边1，右边.等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，等式成立，即(k2，kN)当nk1时，当nk1时，等式成立根据(1)和(2)知，对n2，nN时，等式成立10用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式anbn都能被ab整除【证明】(1)当n1时，anbnab能被ab整除(2)假设当nk(kN，k1)时，akbk能被ab整除，那么当nk1时，ak1bk1ak1akbakbbk1ak(ab)b(akbk)因为(ab)和akbk都能被ab整除，所以上面的和ak(ab)b(akbk)也能被ab整除这也就是说当nk1时，ak1bk1能被ab整除根据(1)(2)可知对一切正整数n，anbn都能被ab整除能力提升1设f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于() 【导学号：32750067】A. B.C. D.【解析】因为f(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).【答案】D2某同学回答“用数学归纳法证明n1(nN)的过程如下：证明：(1)当n1时，显然命题是正确的：(2)假设nk时有k1，那么当nk1时，(k1)1，所以当nk1时命题是正确的由(1)(2)可知对于nN，命题都是正确的以上证法是错误的，错误在于()A从k到k1的推理过程没有使用归纳假设B归纳假设的写法不正确C从k到k1的推理不严密D当n1时，验证过程不具体【解析】证明(k1)1时进行了一般意义的放大而没有使用归纳假设k1.【答案】A3用数学归纳法证明2232n21(nN，且n1)时，第一步应验证n_，当nk1时，左边的式子为_【解析】所证明的等式为2232n21(nN，n1)又第一步验证的值应为第一个值(初始值)，n应为2.又当nk1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k1，即2232k2(k1)2.【答案】22232k2(k1)24是否存在常数a，b，c使等式(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？证明你的结论【解】存在分别用n1,2,3代入，解方程组得故原等式右边.下面用数学归纳法证明(1)当n1时，由上式可知等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时等式成立，即(k212)2(k222)k(k2k2)k4k2.则当nk1时，左边(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k212)2(k222)k(k2k2)(2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1)(k1)4(k1)2，故nk1时，等式成立由(1)(2)得等式对一切nN均成立