高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末高效整合 新人教A版选修1-2

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第三章 复 数一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设z134i,z223i,则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析:z1z257i.答案:D2若复数(1bi)(2i)是纯虚数(i是虚数单位),b是实数,则b等于()A2 B.CD2解析:(1bi)(2i)(2b)(2b1)i是纯虚数,2b0,且2b10,b2.答案:A3复数(i为虚数单位)的模是()A.B2C5D8解析:12i,所以|12i|.答案:A4已知i为虚数单位,复数z,则复数z的虚部是()AiBC.iD解析:i,所以复数z的虚部是.答案:B5若a,bR,i为虚数单位,且(ai)ibi,则()Aa1,b1Ba1,b1Ca1,b1Da1,b1解析:(ai)i1aibi,b1,a1.故选D.答案:D6若复数z满足iz24i,则在复平面内,z对应的点的坐标是()A(2,4)B(2,4)C(4,2)D(4,2)解析:先求出z,再根据复数的几何意义求出对应点的坐标方法一:因为iz24i,所以z42i.在复平面内,复数z对应的点的坐标为(4,2),选C.方法二:设zabi(a,bR),由iz24i,得i(abi)24i,即bai24i,故即z42i,故复数z对应的点的坐标为(4,2),选C.方法三:因为iz24i,所以(i)iz(i)(24i)42i,即z42i,故复数z对应的点的坐标为(4,2),选C.答案:C7已知复数z,则z对应的点所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析:z3i,所以复数z对应的点所在的象限是第二象限答案:B8若复数(ai)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是()A1B1C.D解析:因为复数(ai)2(a21)2ai,所以其在复平面内对应的点的坐标是(a21,2a),又因为该点在y轴负半轴上,所以有解得a1,选B.答案:B9已知复数z,是z的共轭复数,则z()A. B.C1D2解析:z,所以,z,故选A.答案:A10已知复数z112i,z21i,z334i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C,若(,R),则的值是()A1B2C3D4解析:依题意34i(12i)(1i)(2)i,1.答案:A11已知f(n)inin(i21,nN),集合f(n)的元素个数是()A2B3C4D无数个解析:f(0)i0i00,f(1)ii1i2i,f(2)i2i20,f(3)i3i32i.f(n)0,2i,2i答案:B12若z,则z100z501的值是()A1B1CiDi解析:z,z100z50110050150251i50i251i2i1i.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分请把正确的答案填在题中的横线上)13若复数z(m1)(m2)i对应的点在直线y2x上,则实数m的值是_解析:由已知得2(m1)(m2)0,m4.答案:414若z(12i)(ai)(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为_解析:因为z(12i)(ai)a2(12a)i为纯虚数,所以a20,(12a)0,解得a2.答案:215在复平面内,复数1i与13i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则|_.解析:(13i)(1i)22i,|2.答案:216设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若zi22z,则z_.解析:设出复数的代数形式,结合复数的运算法则,利用复数相等的条件求解设zabi(a,bR),由zi22z,得(abi)(abi)i22(abi),即(a2b2)i22a2bi,由复数相等的条件得解得z1i.答案:1i三、解答题(本大题共6小题,共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知复数z1满足(z12)i1i,复数z2的虚部为2,且z1z2为实数,求z2.解析:由(z12)i1i,得z12(1i)(i)1i,z13i.设z2x2i(xR),则z1z2(3i)(x2i)3x2(6x)i为实数,x6,z262i.18(本小题满分12分)已知复数z(2i)m22(1i)求实数m取什么值时,复数z是零;虚数;纯虚数解析:由于mR,复数z可以表示为z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i.当即m2时,z为零当m23m20,即m2且m1时,z为虚数当即m时,z为纯虚数19(本小题满分12分)设z,若z2azb1i,求实数a,b的值解析:z1i,将z1i代入z2azb1i得:(1i)2a(1i)b1i,即(ab)(a2)i1i.所以解得20(本小题满分12分)已知复数z3bi(bR),且(13i)z为纯虚数(1)求复数z;(2)若,求复数的模|.解析:(1)(13i)(3bi)(33b)(9b)i(13i)z是纯虚数,33b0,且9b0,b1,z3i.(2)i,|.21(本小题满分13分)已知复数z满足方程z22iz30,求z.解析:设zxyi(x,yR),由z满足方程z22iz30,得(xyi)22i(xyi)30.整理,得(x2y22y3)2(xyx)i0.由复数相等的充要条件,得由,得x0或y1.当x0时,由,得y22y30,则y1或y3;当y1时,由,得x240,无解或zi或z3i.22(本小题满分13分)已知复数z满足|z|,z2的虚部为2,z所对应的点A在第一象限(1)求z;(2)若z,z2,zz2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求cosABC.解析:(1)令zxyi(x,yR)|z|,x2y22.又z2(xyi)2x2y22xyi,2xy2,xy1.由,可解得或z1i,或z1i.又x0,y0,z1i.(2)z2(1i)22i,zz21i2i1i.如图所示,A(1,1),B(0,2),C(1,1),(1,1),(1,3),cosABC.
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