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第三章 复 数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：z1z257i.答案：D2若复数(1bi)(2i)是纯虚数(i是虚数单位)，b是实数，则b等于()A2 B.CD2解析：(1bi)(2i)(2b)(2b1)i是纯虚数，2b0，且2b10，b2.答案：A3复数(i为虚数单位)的模是()A.B2C5D8解析：12i，所以|12i|.答案：A4已知i为虚数单位，复数z，则复数z的虚部是()AiBC.iD解析：i，所以复数z的虚部是.答案：B5若a，bR，i为虚数单位，且(ai)ibi，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1解析：(ai)i1aibi，b1，a1.故选D.答案：D6若复数z满足iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A(2,4)B(2，4)C(4，2)D(4,2)解析：先求出z，再根据复数的几何意义求出对应点的坐标方法一：因为iz24i，所以z42i.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(4，2)，选C.方法二：设zabi(a，bR)，由iz24i，得i(abi)24i，即bai24i，故即z42i，故复数z对应的点的坐标为(4，2)，选C.方法三：因为iz24i，所以(i)iz(i)(24i)42i，即z42i，故复数z对应的点的坐标为(4，2)，选C.答案：C7已知复数z，则z对应的点所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：z3i，所以复数z对应的点所在的象限是第二象限答案：B8若复数(ai)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A1B1C.D解析：因为复数(ai)2(a21)2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a21,2a)，又因为该点在y轴负半轴上，所以有解得a1，选B.答案：B9已知复数z，是z的共轭复数，则z()A. B.C1D2解析：z，所以，z，故选A.答案：A10已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是()A1B2C3D4解析：依题意34i(12i)(1i)(2)i，1.答案：A11已知f(n)inin(i21，nN)，集合f(n)的元素个数是()A2B3C4D无数个解析：f(0)i0i00，f(1)ii1i2i，f(2)i2i20，f(3)i3i32i.f(n)0，2i,2i答案：B12若z，则z100z501的值是()A1B1CiDi解析：z，z100z50110050150251i50i251i2i1i.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确的答案填在题中的横线上)13若复数z(m1)(m2)i对应的点在直线y2x上，则实数m的值是_解析：由已知得2(m1)(m2)0，m4.答案：414若z(12i)(ai)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为_解析：因为z(12i)(ai)a2(12a)i为纯虚数，所以a20，(12a)0，解得a2.答案：215在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|_.解析：(13i)(1i)22i，|2.答案：216设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zi22z，则z_.解析：设出复数的代数形式，结合复数的运算法则，利用复数相等的条件求解设zabi(a，bR)，由zi22z，得(abi)(abi)i22(abi)，即(a2b2)i22a2bi，由复数相等的条件得解得z1i.答案：1i三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知复数z1满足(z12)i1i，复数z2的虚部为2，且z1z2为实数，求z2.解析：由(z12)i1i，得z12(1i)(i)1i，z13i.设z2x2i(xR)，则z1z2(3i)(x2i)3x2(6x)i为实数，x6，z262i.18(本小题满分12分)已知复数z(2i)m22(1i)求实数m取什么值时，复数z是零；虚数；纯虚数解析：由于mR，复数z可以表示为z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i.当即m2时，z为零当m23m20，即m2且m1时，z为虚数当即m时，z为纯虚数19(本小题满分12分)设z，若z2azb1i，求实数a，b的值解析：z1i，将z1i代入z2azb1i得：(1i)2a(1i)b1i，即(ab)(a2)i1i.所以解得20(本小题满分12分)已知复数z3bi(bR)，且(13i)z为纯虚数(1)求复数z；(2)若，求复数的模|.解析：(1)(13i)(3bi)(33b)(9b)i(13i)z是纯虚数，33b0，且9b0，b1，z3i.(2)i，|.21(本小题满分13分)已知复数z满足方程z22iz30，求z.解析：设zxyi(x，yR)，由z满足方程z22iz30，得(xyi)22i(xyi)30.整理，得(x2y22y3)2(xyx)i0.由复数相等的充要条件，得由，得x0或y1.当x0时，由，得y22y30，则y1或y3；当y1时，由，得x240，无解或zi或z3i.22(本小题满分13分)已知复数z满足|z|，z2的虚部为2，z所对应的点A在第一象限(1)求z；(2)若z，z2，zz2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求cosABC.解析：(1)令zxyi(x，yR)|z|，x2y22.又z2(xyi)2x2y22xyi，2xy2，xy1.由，可解得或z1i，或z1i.又x0，y0，z1i.(2)z2(1i)22i，zz21i2i1i.如图所示，A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，(1，1)，(1，3)，cosABC.
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