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第二章空间向量与立体几何(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；若ab0，bc0，则ac；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底； |(ab)c|a|b|c|.A2 B3 C4 D52直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则等于()Aabc BabcCabc Dabc3已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，则()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y4已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)5已知A(1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin，等于()A B. C. D6在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60 B90 C105 D757若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确8若两点A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|取最小值时，x的值等于()A19 B C. D.9.如图所示，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A. B. C. D.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin，的值等于()A. B.C. D.题号12345678910答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11若a(2，3,5)，b(3,1，4)，则|a2b|_.12若三点A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是_13如图所示，已知正四面体ABCD中，AEAB，CFCD，则直线DE和BF所成角的余弦值为_14平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为_15.如图所示，已知二面角l的平面角为 ，ABBC，BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若ABBCCD1，则AD的长为_三、解答题(本大题共6小题，共75分)16(12分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，CA1BC1.求证：AB1CA1.17(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，1，2)，B(1，2，1)，C(1,1，3)，D(3，5,3)求证：四边形ABCD是一个梯形18.(12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点(1)求证：EF平面ACD1；(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值19(12分)如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.求证：C1CBD.20.(13分)如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值21(14分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值第二章空间向量与立体几何(A)1C只有命题正确2D如图，bac.3Dab，存在实数，使，.4C设a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3,2)，又|a|，a，a，或a(1,1,1)或a(1，1，1)5C(1,0,0)，(2，2,1)，cos，sin，.6B建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0,0,1)，B1，C1(0，0)， B.，10，即AB1与C1B所成角的大小为90.7Av3u，vu.故.8C(1x,2x3，3x3)，则|.故当x时，|取最小值9C如图所示，作BDAP于D，作CEAP于E，设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.，2222222.，cos，即二面角BAPC的余弦值为.10B以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知(1,1,1)，故cos，从而sin，.11.解析a2b(8，5,13)，|a2b|.12不等边的锐角三角形解析(3,4,2)，(5,1,3)，(2，3，1)，0，得A为锐角；0，得C为锐角；0，得B为锐角，所以ABC是锐角三角形且|，|，|.13.解析因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为BCD的垂心，所以有BCDA，ABCD.设正四面体的棱长为4，则()()0041cos 12014cos 1204，BFDE，所以异面直线DE与BF的夹角的余弦值为：cos .14.或解析设n1(1,0，1)，n2(0，1,1)，则cosn1，n2，n1，n2.因平面与平面所成的角与n1，n2相等或互补，所以与所成的角为或.15.解析因为，所以22222221112cos()32cos .所以|，即AD的长为.16证明以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，(a，b，d)，(ca，b，d)，(c,0，d)，由已知caa2b2d20，c(ca)d20，可得c2a2b2.再由两点间距离公式可得：|AB1|2a2b2d2，|CA1|2c2d2a2b2d2，AB1CA1.17证明因为(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，因为，所以和共线，即ABCD.又因为(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，因为，所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形18(1)证明如图所示，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)，F(0,2,1)易知平面ACD1的一个法向量是(2,2,2)又(1,2，1)，由2420，.又EF平面ACD1，EF平面ACD1.(2)解(0,2,0)，cos，.19证明设a，b，c，依题意，|a|b|，又设，中两两所成夹角为，于是ab，c(ab)cacb|c|a|cos |c|b|cos 0，所以C1CBD.20解因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624.所以cos，.即OA与BC所成角的余弦值为.21(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设AB1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E.易得，(0,2，4)，于是cos，.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明易知(1,2,1)，于是0，0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u(x，y，z)，则即不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，于是cosu，从而sinu，.所以二面角A1EDF的正弦值为.- 10 -
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