高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末总结 北师大版选修2-1

章末总结知识点一空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础例1沿着正四面体OABC的三条棱、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值知识点二证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决例2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点(1)用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；(2)用向量法证明MN面A1BD.例3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60.例4正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.知识点三空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解，体现了向量法极大的优越性例5如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD8，AA14，M为B1C1上一点且B1M2，点N在线段A1D上，A1DAN.(1)求cos，；(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值知识点四空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解例6如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PAAD2，M、N分别是AB、PC的中点(1)求二面角PCDB的大小；(2)求证：平面MND平面PCD；(3)求点P到平面MND的距离章末总结重点解读例1解如图所示，用a，b，c分别代表棱、上的三个单位向量，则f1a，f22b，f33c，则ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012 cos 601423625，|f|5，即所求合力的大小为5.且cosf，a，同理可得：cosf，b，cosf，c.例2证明(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，又，.BDB1D1.同理可证A1BD1C，又BDA1BB，B1D1D1CD1，所以平面A1BD平面B1CD1.(2)()().设a，b，c，则(abc)又ba，(abc)(ba)(b2a2cbca)又A1AAD，A1AAB，cb0，ca0.又|b|a|，b2a2，b2a20.0，MNBD.同理可证，MNA1B，又A1BBDB，MN平面A1BD.例3解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)则(1，1,0)，(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)又由0，0知，为平面BB1D1D的一个法向量设AP与平面BB1D1D所成的角为，则sin |cos，|.依题意得sin 60，解得m.故当m时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60.例4证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E、D1(0,0,1)、F、A(1,0,0)(1,0,0)，.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量由.令y11，得m(0,1，2)又由，令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.例5解(1)建立空间直角坐标系(如图)则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)(5,2,4)，(0,8，4)016160，.cos，0.(2)A1DAM，A1DAN，且AMANA，平面ANM，(0,8，4)是平面ANM的一个法向量又(0,8,0)，|4，|8，64，cos，.AD与平面ANM所成角的余弦值为.(3)平面ANM的法向量是(0,8，4)，平面ABCD的法向量是a(0,0,1)，cos，a.平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.例6(1)解PA平面ABCD，由ABCD是正方形知ADCD.CD面PAD，PDCD.PDA是二面角PCDB的平面角PAAD，PDA45，即二面角PCDB的大小为45.(2)如图，建立空间直角坐标系，则P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,0,0)，N是PC的中点，N(1,1,1)，(0,1,1)，(1,1，1)，(0,2，2)设平面MND的一个法向量为m(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n(x2，y2，z2)m0，m0，即有令z11，得x12，y11.m(2，1,1)同理，由n0，n0，即有令z21，得x20，y21，n(0,1,1)mn20(1)1110，mn.平面MND平面PCD.(3)设P到平面MND的距离为d.由(2)知平面MND的法向量m(2，1,1)，m(0,2，2)(2，1,1)4，|m|4，又|m|，d.即点P到平面MND的距离为.- 8 -