高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业 新人教版选修2-2

【创新设计】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业 新人教版选修2-2明目标、知重点1了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立2应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可(3)步骤的证明必须以“假设当nk(kn0，kN*)时命题成立”为条件情境导学多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下结论：多米诺骨牌会全部倒下所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础思考2对于数列an，已知a11，an1，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想请问这个结论正确吗？怎样证明？答a11，a2，a3，a4，猜想an(nN*)以下为证明过程：(1)当n1时，a11，所以结论成立(2)假设当nk(kN*)时，结论成立，即ak，则当nk1时ak1(已知)(代入假设)(变形)(目标)即当nk1时，结论也成立由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an成立思考3你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法思考4用数学归纳法证明135(2n1)n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正证明：(1)n1时，左边1，右边121，等式成立(2)假设nk时等式成立，即135(2k1)k2，则当nk1时，135(2k1)(k1)2等式也成立由(1)和(2)可知对任何nN*等式都成立答证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明nk1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式探究点二用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明1222n2(nN*)证明(1)当n1时，左边121，右边1，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即1222k2，那么，1222k2(k1)2(k1)2，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何nN*都成立反思与感悟(1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项跟踪训练1求证：1(nN*)证明当n1时，左边1，右边，所以等式成立假设nk(kN*)时，1成立那么当nk1时，1，所以nk1时，等式也成立综上所述，对于任何nN*，等式都成立探究点三用数学归纳法证明数列问题例2已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解S1；S2；S3；S4.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想Sn.下面我们用数学归纳法证明这个猜想(1)当n1时，左边S1，右边，猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即，那么，所以，当nk1时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN*都成立反思与感悟归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳猜想证明”的基本思想跟踪训练2数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明解由a12a1，得a11；由a1a222a2，得a2；由a1a2a323a3，得a3；由a1a2a3a424a4，得a4.猜想an.下面证明猜想正确：(1)当n1时，由上面的计算可知猜想成立(2)假设当nk时猜想成立，则有ak，当nk1时，Skak12(k1)ak1，ak12(k1)Skk1(2k)，所以，当nk1时，等式也成立由(1)和(2)可知，an对任意正整数n都成立1若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确答案C解析由已知得nn0(n0N*)时命题成立，则有nn01时命题成立；在nn01时命题成立的前提下，又可推得n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.2用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”在验证n1时，左端计算所得项为()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4答案C解析将n1代入a2n1得a3，故选C.3用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时等式也成立由此可知对于任何nN*，等式都成立上述证明的错误是_答案未用归纳假设解析本题在由nk成立，证nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符4用数学归纳法证明11n(nN*)证明(1)当n1时，左式1，右式1，所以1，命题成立(2)假设当nk(kN*)时，命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又12的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对答案B解析由nk时命题成立可以推出nk2时命题也成立且n2，故对所有的正偶数都成立3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步验证n等于()A1 B2 C3 D0答案C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4若f(n)1(nN*)，则n1时f(n)是()A1 B.C1 D以上答案均不正确答案C5已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D解析观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，项数为n2n1.6在数列an中，a12，an1(nN*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为()A. B.C. D.答案B解析a12，a2，a3，a4，可推测an，故选B.7用数学归纳法证明(1)(1)(1)(1)(nN*)证明(1)当n1时，左边1，右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即(1)(1)(1)(1)，当nk1时，(1)(1)(1)(1)(1)(1)，所以当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意nN*等式都成立二、能力提升8用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从k到k1左端需要增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，应增乘2(2k1)9已知f(n)(nN*)，则f(k1)_.答案f(k)10证明：假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任何nN*等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为_答案缺少步骤归纳奠基11用数学归纳法证明12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边1，右边(1)111，结论成立(2)假设当nk时，结论成立即12223242(1)k1k2(1)k1，那么当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.即nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立12已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn为数列an的前n项和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an.(2)证明当n2时，a252225，公式成立假设nk(k2，kN*)时成立，即ak52k2，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2.552k1.故nk1时公式也成立由可知，对n2，nN*，有an52n2.所以数列an的通项公式为an.三、探究与拓展13已知数列an的前n项和Sn1nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论解(1)计算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想：an.下面用数学归纳法证明当n1时，猜想显然成立假设nk(kN*)时，猜想成立，即ak.那么，当nk1时Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，所以ak11(k1)ak1，从而ak1.即nk1时，猜想也成立故由和，可知猜想成立- 11 -