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第2章推理与证明单元检测一、填空题1用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a，bR)”，其反设是_2周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是_3下列说法正确的是_(写出所有正确命题的序号)演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理得到的结论一定是正确的演绎推理的一般模式是“三段论”形式演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关4对于等差数列an有如下命题：“若an是等差数列，a10，s，t是互不相等的正整数，则有(s1)at(t1)as0”类比此命题，给出等比数列bn相应的一个正确命题：“_”5若，(a0)，则P，Q的大小关系是_6补充下列证明过程：要证a2b2c2abbcac，即证_，即证_7下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为_8已知x，y为正数，当x2y2_时，有.9一个等差数列an，其中a100，则有a1a2ana1a2a19n(1n19，nN*)一个等比数列bn，其中b151.类比等差数列an，下列结论中，正确的是_(填序号)b1b2bnb1b2b29n(1n29，nN*)b1b2bnb1b2b29nb1b2bnb1b2b29n(1n29，nN*)b1b2bnb1b2b29n10已知不等边三角形的三边按从小到大的顺序排列成等比数列，则公比q的取值范围是_11设f(x)为奇函数，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，则f(5)_.12(2012湖北高考，文17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn可以推测：(1)b2 012是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用k表示)二、解答题13已知0a1，求证：.142012福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论15已知函数f(x)ax(a1)，用反证法证明方程f(x)0没有负数根参考答案1. 答案：a，b至少有一个不为02. 答案：表面积一定的空间几何体中球的体积最大3. 答案：4. 答案：若bn是等比数列，b11，s，t是互不相等的正整数，则有5. 答案：PQ解析：假设PQ，要证PQ，只要证P2Q2，只要证：2a72a7，只要证：a27aa27a12，只要证：012，012成立，PQ成立6. 答案：2(a2b2c2)2ab2bc2ac(ab)2(bc)2(ac)207. 答答案：an3n18. 答案：1解析：要使，只需x2(1y2)1y2(1x2)，即1x2y2.只需使(y)20，即y，x2y21.9. 答案：解析：等差数列an中，a100，知以a10为等差中项的项和为0，如a9a11a8a12a2a18a1a190.而等比数列bn中b151，类比，有b1b29b2b28b14b161.从而类似的总结规律应为各项之积.等差数列an中，a100，a1a19a2a18a8a12a9a110，即a19nan10，a18nan20，a17nan30，等比数列bn中，b151，b1b29b2b28b14b161，即b29nbn11，b28nbn21，从而比较知正确.10. 答案：1q解析：设三角形的三边长为a，b，c，且abc，则baq，caq2.a0，1q.11答案：解析：f(1)，f(x)为奇函数，f(1)f(1)，f(0)0.f(x2)f(x)f(2)，f(1)f(12)f(1)f(2).f(2)1，f(3)f(12)f(1)f(2)，f(5)f(23)f(3)f(2)1.12答案：(1)5 030(2)解析：(1)由题意可得，a11，a23，a36，a410，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n.以上各式相加得，ana123n，故.因此，b1a410，b2a515，b3a945，b4a1055，由此归纳出b2 012a5 030.(2)b1a4，b3a9，b5a14，.归纳出b2k1.13. 答案：证明：由于0a1，1a0.要证明，只需证明1a4a9a9a2，即9a26a10，只需证明(3a1)20，(3a1)20显然成立，原不等式成立.14. 答案：解法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 30.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.15. 答案：证法一：假设方程f(x)0有负数根，设存在x00(x01)，满足f(x0)0，则.又01，所以01，即x02.与假设x00矛盾，故方程f(x)0没有负数根.证法二：假设方程f(x)0有负数根，设存在x00(x01)，满足f(x0)0.(1)若1x00，则2，1，所以f(x0)1，与f(x0)0矛盾.(2)若x01，则0，0，所以f(x0)0，与f(x0)0矛盾.故方程f(x)0没有负数根.1
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