高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 学业分层测评10 双曲线的简单几何性质 新人教A版选修1-1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 学业分层测评10 双曲线的简单几何性质 新人教A版选修1-1 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1双曲线1的渐近线方程是()A4x3y0B16x9y0C3x4y0D9x16y0【解析】由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a3，b4，渐近线方程为yx，即4x3y0.【答案】A2中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线方程是()Ax2y28Bx2y24Cy2x28Dy2x24【解析】令y0，得x4，等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0)，c4，a2b2c2168，故选A.【答案】A3设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()AyxBy2xCyxDyx【解析】由已知，得b1，c，a.因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为yxx.【答案】C4(2014全国卷)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B.C.D1【解析】由题意得e2，2a，a234a2，a21，a1.【答案】D5与曲线1共焦点，且与曲线1共渐近线的双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】根据椭圆方程可知焦点为(0，5)，(0,5)设所求双曲线方程为(0)，即1.由64(36)25，得.故所求双曲线的方程为1.【答案】A二、填空题6已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为_【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理得，3，即e3.【答案】37直线xy0被双曲线x2y21截得的弦AB的长是_【解析】联立消去y，得x23x20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23，x1x22，|AB|2.【答案】28若直线x2与双曲线x21(b0)的两条渐近线分别交于点A，B，且AOB的面积为8，则焦距为_. 【导学号：26160051】【解析】由双曲线为x21得渐近线为ybx，则交点A(2,2b)，B(2，2b)SAOB24b8，b2.又a21，c2a2b25.焦距2c2.【答案】2三、解答题9已知双曲线C的方程为1(a0，b0)，离心率e，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程【解】依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为yx，即axby0，所以.又e，所以b1，即c2a21，2a21，解得a24，故双曲线方程为x21.10双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围【解】由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|2|PF2|，如图所示又|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|2a，即|AF2|2a.|OF2|OA|ca2a，c3a.又ca，ac3a，13，即1e3.能力提升1双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(10,0)B(12,0)C(3,0)D(60，12)【解析】双曲线方程化为1，则a24，b2k，c24k，e，又e(1,2)，12，解得12k0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1.【答案】B3已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_【解析】由题意得A1(1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x1)，则(1x，y)，(2x，y)，(x1)(x2)y2x2x2y2，由双曲线方程得y23x23，代入上式得4x2x542，又x1，所以当x1时，取得最小值，且最小值为2.【答案】24(2016荆州高二检测)双曲线C的中点在原点，右焦点为F，渐近线方程为yx.(1)求双曲线C的方程； 【导学号：26160052】(2)设直线L：ykx1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？【解】(1)设双曲线的方程为1，由焦点坐标得c，渐近线方程为yxx，结合c2a2b2得a2，b21，所以双曲线C的方程为y21，即3x2y21.(2)由得(3k2)x22kx20，由0，且3k20，得k，且k.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆过原点，所以OAOB，所以x1x2y1y20.又x1x2，x1x2，所以y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)11，所以10，解得k1.