高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 学业分层测评7 椭圆的简单几何性质 新人教A版选修1-1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 学业分层测评7 椭圆的简单几何性质 新人教A版选修1-1 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3，B10,6，C5,3，D10,6，【解析】椭圆方程可化为1.a5，b3，c4，长轴长2a10，短轴长2b6，离心率e.故选B.【答案】B2若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m等于()A. B.C. D.【解析】椭圆焦点在x轴上，0m2，a，c，e.故，m.【答案】B3中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1【解析】因为2a18,2c2a6，所以a9，c3，b281972.故所求方程为1.【答案】A4已知椭圆1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A. B.C. D.【解析】由题意得a2b2a2(ac)2，即c2aca20，即e2e10，解得e，又e0，故所求的椭圆的离心率为.故选B.【答案】B5设e是椭圆1的离心率，且e，则实数k的取值范围是()A(0,3) B.C(0,3)D(0,2)【解析】当焦点在x轴上时，e2，解得0k3.当焦点在y轴上时，e2，解得k.综上可知选C.【答案】C二、填空题6已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为_. 【导学号：26160036】【解析】由题意得解得椭圆方程为1或1.【答案】1或17若椭圆1的离心率为，则k的值为_【解析】若焦点在x轴上，则12，k；若焦点在y轴上，则，k3.【答案】或38(2016台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为_【解析】设P点到x轴的距离为h，则SPF1F2|F1F2|h，当P点在y轴上时，h最大，此时SPF1F2最大，|F1F2|2c8，h3，即b3.【答案】3三、解答题9椭圆1(ab0)的两焦点F1(0，c)，F2(0，c)(c0)，离心率e，焦点到椭圆上点的最短距离为2，求椭圆的方程【解】因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，ac2.又e，a2，c，b21，椭圆的方程为x21.10.如图213所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2F1F2，MF1F230.试求椭圆的离心率图213【解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2F1F2，所以MF1F2为直角三角形又MF1F230，所以|MF1|2|MF2|，|F1F2|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|MF2|2a，因此|MF1|，|MF2|，所以2c，即，即椭圆的离心率是.能力提升1(2016长沙一模)已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F260，|PF2|PF1|，则椭圆的离心率为()A. B.1C2D1【解析】由题意可得PF1F2是直角三角形，|F1F2|2c，|PF1|c，|PF2|c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e1.【答案】B2若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2B3 C6D8【解析】由题意得F(1,0)，设点P(x0，y0)，则y3(2x02)，x0(x01)yxx0yxx03(x02)22，当x02时，取得最大值为6.故选C.【答案】C3椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是14，短轴长为8，则椭圆的标准方程是_. 【导学号：26160037】【解析】由题意得，解得ca.又短轴长为2b，则2b8，即b4，故b2a2c2a2216，则a225.故椭圆的标准方程为1.【答案】14(2014安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率【解】(1)由|AF1|3|BF1|，|AB|4，得|AF1|3，|BF1|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|BF1|k，则k0，且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k，于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|AF2|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.