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第二章圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知抛物线的方程为y2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为()A.B.C(1,0)D(0,1)解析:抛物线过点(1,4),42a,a2,抛物线方程为x2y,焦点坐标为.答案:A2设椭圆1(m0,n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为()A.1 B.1C.1D.1解析:y28x的焦点为(2,0),1的右焦点为(2,0),mn且c2.又e,m4.c2m2n24,n212.椭圆方程为1.答案:B3已知点A(2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足x2,则点P的轨迹是()A圆B椭圆C直线D抛物线解析:依题意,(2x,y),(3x,y)又x2,(2x)(3x)y2x2,即y2x6.点P的轨迹是抛物线答案:D4中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()A. B.C.D.解析:设双曲线的标准方程为1(a0,b0),所以其渐近线方程为yx,因为点(4,2)在渐近线上,所以,根据c2a2b2,可得,解得e2,e.答案:D5若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1或1D.1解析:2c6,c3,2a2b18,a2b2c2,椭圆方程为1或1.答案:C6已知双曲线x21的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为()A1B0C2D解析:设点P(x0,y0),则x1,由题意得A1(1,0),F2(2,0),则(1x0,y0)(2x0,y0)xx02y,由双曲线方程得y3(x1),故4xx05(x01),可得当x01时,有最小值2.故选C.答案:C7已知F是抛物线yx2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1Bx22yCx2yDx22y2解析:设P(x0,y0),PF的中点为(x,y),则y0x,又F(0,1),代入y0x得2y1(2x)2,化简得x22y1,故选A.答案:A8抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B.C1D.解析:由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为xy0或xy0,则焦点到渐近线的距离d1或d2.答案:B9直线yxb与抛物线x22y交于A,B两点,O为坐标原点,且OAOB,则b()A2B2C1D1解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去y,得x22x2b0,所以x1x22,x1x22b,y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2b2,又OAOB,x1x2y1y20,即b22b0,解得b0(舍)或b2.答案:A10已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程是yx,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上,则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1D.1解析:因为双曲线1(a0,b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上,所以F(6,0)是双曲线的左焦点,即a2b236,又双曲线的一条渐近线方程是yx,所以,解得a29,b227,所以双曲线的方程为1,故选B.答案:B11若动圆圆心在抛物线y28x上,且动圆恒与直线x20相切,则动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0,2)解析:抛物线y28x上的点到准线x20的距离与到焦点(2,0)的距离相等,故动圆必过焦点(2,0)答案:B12设圆锥曲线的两个焦点分别为F1,F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432,则曲线的离心率等于()A.或 B.或2C.或2D.或解析:设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|F1F2|PF2|432,知若圆锥曲线为椭圆,由椭圆的定义,则有e;若圆锥曲线为双曲线,由双曲线的定义,则有e.综上,所求的离心率为或.故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分请把正确答案填在题中横线上)13已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|F1F2|,则PF1F2的面积等于_解析:由1知,a5,b4,c3,即F1(3,0),F2(3,0),|PF2|F1F2|6.又由椭圆的定义,知|PF1|PF2|10,|PF1|1064,于是SPF1F2|PF1|h48.答案:814已知抛物线y24x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则yy的最小值是_解析:若k不存在,则yy32.若k存在,设直线AB的斜率为k,当k0时,直线AB的方程为y0,不合题意,故k0.由题意设直线AB的方程为yk(x4)(k0),由得ky24y16k0,y1y2,y1y216.yy(y1y2)22y1y223232.yy的最小值为32.答案:3215设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为_解析:设椭圆的方程为1(ab0),F2的坐标为(c,0),P点坐标为,由题意知|PF2|F1F2|,所以2c,a2c22ac,2210,解得1,负值舍去答案:116已知双曲线C:1,给出以下4个命题,真命题的序号是_直线yx1与双曲线有两个交点;双曲线C与1有相同的渐近线;双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3.解析:错误,因为直线yx1与渐近线yx平行,与双曲线只有一个交点;正确,渐近线方程为yx;正确,右焦点为(,0)到渐近线yx的距离为3.答案:三、解答题(本大题共6小题,共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)求与椭圆1有公共焦点,并且离心率为的双曲线方程解析:由椭圆方程为1,知长半轴长a13,短半轴长b12,焦距的一半c1 ,焦点是F1(,0),F2(,0),因此双曲线的焦点也是F1(,0),F2(,0),设双曲线方程为1(a0,b0),由题设条件及双曲线的性质,得解得故所求双曲线的方程为y21.18(本小题满分12分)已知过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点,且|AB|p,求AB所在的直线方程解析:焦点F,设A(x1,y1),B(x2,y2),若ABOx,则|AB|2pp,不合题意,所以直线AB的斜率存在,设为k,则直线AB的方程为yk,k0.由消去x,整理得ky22pykp20.由根与系数关系得,y1y2,y1y2p2.|AB| 2pp.解得k2.AB所在的直线方程为y2或y2.19(本小题满分12分)(2014杭州高二检测)已知A(7,0),B(7,0),C(2,12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,求椭圆另一个焦点的轨迹方程解析:设椭圆的另一个焦点为P(x,y),则由题意知|AC|AP|BC|BP|,|BP|AP|AC|BC|21且k0,解得k2或k1(舍去)所求k的值为2.22(本小题满分14分)已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点(1)求双曲线的渐近线方程;(2)直线l过焦点且垂直于x轴,若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为,求双曲线的方程解析:(1)依题意,有3m25n22m23n2,即m28n2,即双曲线方程为1,故双曲线的渐近线方程是0,即yx.(2)不妨设渐近线yx与直线l:xc交于点A,B,则|AB|,SOABcc,解得c1.即a2b21,又,a2,b2,双曲线的方程为1.
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