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8最小二乘估计1了解最小二乘法的思想2能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程最小二乘法求线性回归直线方程ybxa时，使得样本数据的点到它的_最小的方法叫做最小二乘法其中a，b的值由以下公式给出： a，b是线性回归方程的系数线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程因此在学习过程中，要重视信息技术的应用【做一做】已知某工厂在某年里每月生产产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的回归直线方程为y0.9741.215x，计算x2时，总成本y的估计值为_什么是最小二乘法？剖析：结合最小二乘法的发展过程和在实际生活中的应用来了解最小二乘法最小二乘法的思想是通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配，是用最简单的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小，是处理各种观测数据，测量方差的一种基本方法，是一种数学优化技术在统计中，主要是利用最小二乘法求线性回归方程，这是最小二乘法思想的应用最小二乘法不仅是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中也有广泛应用，比如洪水实时预报等等题型一 阅读理解题【例题1】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由资料知，y与x线性相关(1)求回归直线方程ybxa中a与b的值；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？分析：先求出回归直线方程，若回归直线方程为ybxa，则在xx0处的估计值为y0bx0a.反思：知道x与y线性相关，就无需进行相关性检验，否则，应先进行相关性检验，若两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间的线性相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的题型二信息提炼题【例题2】某产品的原料中两种有效成分A和B的含量如下表所示：12345678910A(%)24152319161120161713B(%)67547264392258434634用x(%)表示A的含量，y(%)表示B的含量(1)作出散点图；(2)y与x是否线性相关？若线性相关，求出回归直线方程(结果保留到小数点后4位小数)分析：作出散点图，可判断y与x是否线性相关，如果线性相关，可用计算器求a，b的值反思：求回归直线方程，通常是用计算器来完成的在有的科学计算器中，可通过直接按键得出回归直线方程中的a，b.如果用一般的计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的相关数据，回归直线方程中的a，b就容易求出来了题型三 线性回归分析的应用【例题3】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435464.566.5)分析：(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b，a的值；(3)实际上就是求当x100时，对应的y的值反思：求线性回归直线方程的步骤如下：列表表示xi，yi，xiyi；计算，iyi；代入公式计算b，a的值；写出线性回归方程可以利用线性回归方程进行预测变量的值1某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()Ay10x200 By10x200Cy10x200 Dy10x2002下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点()x0123y1357A(2,2)B(1.5,2)C(1,2) D(1.5,4)3对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程yabx中，回归系数b()A小于0 B大于0C等于0 D以上都有可能4给出下列说法：回归方程适用于一切样本和总体；回归方程一般都有局限性；样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；回归方程得到的预测值是预测变量的精确值其中正确的是_(将你认为正确的序号都填上)5某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表：x3456789y66697381899091已知：，(1)求，；(2)画出散点图；(3)求纯利润y与每天销售件数x之间的回归直线方程答案：基础知识梳理距离的平方和b【做一做】3.404由回归直线方程y0.9741.215x得，当x2时，总成本y的估计值为y0.9741.21523.404.典型例题领悟【例题1】解：(1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.04，5xi290，xiyi112.3其中，b1.23，ab51.2340.08.所以a0.08，b1.23.(2)回归直线方程为y1.23x0.08.当x10时，y1.23100.0812.38，即使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元【例题2】解：(1)散点图如图所示(2)因为散点图中各点大致都分布在一条直线附近，所以y与x之间存在线性相关关系经计算可得17.4，49.9，x3 182，xiyi9 228，故b3.532 383.532 4，ab49.93.532 3817.411.563 4，所以所求回归直线方程为y3.532 4x11.563 4.【例题3】解：(1)散点图如图所示(2)由题意，得xiyi32.5435464.566.5，4.5，3.5，x3242526286，b0.7，ab3.50.74.50.35.故线性回归方程为y0.7x0.35.(3)根据回归方程可预测，现在生产100吨甲产品的生产能耗为0.71000.3570.35(吨标准煤)，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前减少了9070.3519.65(吨标准煤)随堂练习巩固1A商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，b0，排除选项B，D.又x0时，y0，答案为A.2D回归直线方程必过中心点(，)，即(1.5,4)，故选D.3D4样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性所以错5解：(1)6(件)，79.86(元)(2)散点图如下：(3)由散点图知，y与x有线性相关关系设回归直线方程为ybxa.由x280，xiyi3 487，6，得b4.75，a64.7551.36，故回归直线方程为y4.75x51.36.
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