高中数学 第一章 坐标系 学业分层测评1 直角坐标系、平面上的伸缩变换 新人教A版选修4-4

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 坐标系 学业分层测评1 直角坐标系、平面上的伸缩变换 新人教A版选修4-4 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1动点P到直线xy40的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A直线B椭圆C双曲线D抛物线【解析】M(2,2)在直线xy40上，点P的轨迹是过M与直线xy40垂直的直线【答案】A2已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为()A直线B圆C椭圆D双曲线【解析】由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆【答案】C3若ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则ABC的形状为()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D钝角三角形【解析】|AB|，|BC|，|AC|，|BC|AC|AB|，ABC为等腰三角形【答案】A4已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()AB4C8D9【解析】设P点的坐标为(x，y)，|PA|2|PB|，(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4.【答案】B5在同一平面直角坐标系中，将曲线ycos 2x按伸缩变换后为()Aycos xBy3cosxCy2cosxDycos 3x【解析】由得代入ycos 2x，得cos x，ycos x.【答案】A二、填空题6若点P(2 016,2 017)经过伸缩变换后的点在曲线xyk上，则k_.【解析】P(2 016,2 017)经过伸缩变换得代入xyk，得k1.【答案】17将点P(2,3)变换为点P(1,1)的一个伸缩变换公式为_. 【导学号：91060002】【解析】设伸缩变换为由解得【答案】8平面直角坐标系中，在伸缩变换：作用下仍是其本身的点为_【解析】设P(x，y)在伸缩变换：作用下得到P(x，y)依题意得其中0，0，1，1，xy0，即P(0,0)为所求【答案】(0,0)三、解答题9在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)x2y21；(2)1.【解】由伸缩变换得(1)将代入x2y21得9x24y21，因此，经过伸缩变换后，双曲线x2y21变成双曲线9x24y21，如图甲所示(2)将代入1得x21，因此，经过伸缩变换后，椭圆1变成椭圆x21，如图乙所示10台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处求城市B处于危险区内的时间【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M，N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km)，故1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.能力提升1在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x28y20，则曲线C的方程为()A25x236y20B9x2100y20C10x24y0 D.x2y20【解析】将代入2x28y20，得：2(5x)28(3y)20，即：25x236y20.【答案】A2如图111，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点若点P(x，y)、点P(x，y)满足xx且yy，则称P优于P.如果中的点Q满足：不存在中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧()图111A. B. C. D. 【解析】如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为，四部分，由题意，(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在上时，(含边界)内才不含内的点，故点Q的集合为.【答案】D3已知A(2，1)，B(1,1)，O为坐标原点，动点M满足mn，其中m，nR，且2m2n22，则M的轨迹方程为_【解析】设M(x，y)，则(x，y)m(2，1)n(1,1)(2mn，nm)，又2m2n22，消去m，n得y21.【答案】y214.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图112，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器图112(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为yax2.因为D(8,0)在抛物线上，a，曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y)根据题意可知4y27y360，解得y4或y(不合题意，舍去)，y4.解得x6或x6(不合题意，舍去)，C点的坐标为(6,4)，|AC|2，|BC|4.即当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令