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6.1连续型随机变量 6.2正态分布1了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数(难点)2认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义(重点)基础初探教材整理正态分布阅读教材P63P65，完成下列问题1正态分布(1)在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的_，这条曲线对应的函数称为X的_(2)若随机变量X的分布密度函数为f(x)_，其中与分别是随机变量X的_与_，则称X服从参数和2的正态分布，记作XN(，2)【答案】(1)分布密度曲线分布密度函数(2)均值标准差2正态曲线的性质(1)函数图像关于直线_对称；(2)(0)的大小决定函数图像的_；(3)P(X)_；P(2X2)_；P(3X3)_.【答案】(1)x(2)胖、瘦(3)68.3%95.4%99.7%1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正态变量函数表达式中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量()(3)正态曲线是一条钟形曲线()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述()【解析】(1)因为正态分布变量函数表述式中参数是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计(2)因为离散型随机变量最多取可列个不同值而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值(3)由正态分布曲线的形状可知该说法正确(4)因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述【答案】(1)(2)(3)(4)2若XN(1,0.04)，则P(X1)_.【解析】由XN(1,0.04)知，正态曲线关于直线x1对称，故P(X1)0.5.【答案】0.5质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型正态曲线及其性质(1)如图261，曲线C1：f(x) (xR)，曲线C2：(x) (xR)，则()图261A12B曲线C1与x轴相交C12D曲线C1，C2分别与x轴所夹的面积相等(2)如图262是三个正态分布XN(0,0.25)，YN(0,1)，ZN(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别是图中的_，_，_.(填写序号)图262(3)如图263所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布密度曲线的函数解析式，则总体随机变量的均值为_，方差为_图263【精彩点拨】着眼点：(1)方差的大小；(2)正态曲线的特征及意义；(3)参数的几何意义【自主解答】(1)由曲线C1，C2对称轴的位置知，12，由曲线C1瘦于C2知12，由f(x)0知，曲线C1在x轴上方，故选D.(2)由0.2514，得X，Y，Z对应的曲线分别是图中的.(3)从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为，所以20，解得.于是，正态分布密度曲线的函数解析式为：，(x)，x(，)总体随机变量的均值是20，方差是2()22.【答案】(1)D(2)(3)202利用正态曲线的性质可以求参数，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，由此性质结合图像求；(2)正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图像可求.再练一题1设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)，则() 【导学号：62690047】A2，3B3，2C2，D3，【解析】由f(x)，得2，.【答案】C服从正态分布变量的概率问题(1)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6B0.4C0.3D0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(1,1)内取值的概率【精彩点拨】(1)根据正态曲线的对称性性质进行求解；(2)题可先求出X在(1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x1对称知，X在(1,1)内取值的概率就等于在(1,3)内取值的概率的一半【自主解答】(1)随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2.P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6，P(02)0.3.故选C.【答案】C(2)由题意得1，2，所以P(1X3)P(12X12)0.683 0.又因为正态曲线关于x1对称，所以P(1X1)P(1X3)P(1X3)0.341 5.1求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率2常用结论有：(1)对任意的a，有P(Xa)P(Xa)；(2)P(Xx0)1P(Xx0)；(3)P(aXb)P(Xb)P(Xa)再练一题2若N(5,1)，求P(57)【解】N(5,1)，正态分布密度函数的两个参数为5，1.该正态曲线关于x5对称，P(57)P(37)0.9540.477.探究共研型正态分布的实际应用探究1若某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为4，标准差0.5.探究2某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5内的为一等品试问1 000件这种零件中约有多少件一等品？【提示】P(3.54.5)P()0.683 0，所以1 000件产品中大约有1 0000.683 0683(件)一等品探究3某厂生产的圆柱形零件的外直径N(4，0.25)质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(430.5,430.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的设在一次数学考试中，某班学生的分数XN(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数【精彩点拨】要求及格的人数，即要求出P(90X150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解【自主解答】XN(110,202)，110，20，P(11020X130的概率为：(10.683)0.158 5；X90的概率为：0.6830.158 50.841 5.及格的人数为540.841 545人，130分以上的人数为540.158 59人解此类问题一定要灵活把握P()，P(22)，P(33)进行转化，然后利用特定值求出相应概率.同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质.再练一题3在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N(90,100)(1)试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人【解】N(90,100)，90，10.(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，29021070，290210110，于是考试成绩位于区间(70,110)内的概率就是0.954.(2)由90，10，得80，100，由于正态变量在区间(，)内取值的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 0000.6831 366(人)构建体系1正态分布密度函数为，(x)，x(，)，则总体的平均数和标准差分别是()A0和8B0和4C0和2D0和【解析】由条件可知0，2.【答案】C2.如图264是当取三个不同值1，2，3的三种正态曲线N(0，2)的图象，那么1，2，3的大小关系是()图264A11230B01212130D01213【解析】当0，1时，正态曲线f(x).在x0时，取最大值，故21.由正态曲线的性质，当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”，于是有01213.【答案】D3若随机变量XN(，2)，则P(X)_.【解析】由于随机变量XN(，2)，其正态密度曲线关于直线X对称，故P(X).【答案】4已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)0.84，则P(X0)_. 【导学号：62690048】【解析】由XN(2，2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x2，则P(X0)P(X4)1P(X4)10.840.16.【答案】0.165一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000,4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率【解】依题意得104，400.P(104800X104800)P(2X2)0.954.由正态分布性质知P(X104800)故2P(X10 800)P(104800X10 800)0.023，故使用时间超过10 800小时的概率为0.023.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设随机变量N(2,2)，则D()A1B2C.D4【解析】N(2,2)，D2.DD2.【答案】C2下列函数是正态密度函数的是()Af(x)，(0)都是实数Bf(x)Cf(x)Df(x)【解析】对于A，函数的系数部分的二次根式包含，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中1，0，故B正确；对于C，从系数部分看2，可是从指数部分看，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确【答案】B3已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，则P(X4)等于()A0.158 8B0.158 7C0.158 6D0.158 5【解析】由于X服从正态分布N(3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x3，所以P(X4)P(X2)，故P(X4)0.158 7.【答案】B4某厂生产的零件外直径XN(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为()A上、下午生产情况均为正常B上、下午生产情况均为异常C上午生产情况正常，下午生产情况异常D上午生产情况异常，下午生产情况正常【解析】根据3原则，在(830.15,830.15即(7.55,8.45之外时为异常结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常【答案】C5如果随机变量XN(，2)，且EX3，DX1，则P(0X1)等于()A0.021 5B0.723C0.215D0.64【解析】由EX3，DX21，XN(3,1)，P(3X3)P(0X6)0.997；P(2X2)P(1X5)0.954，P(0X6)P(1X5)2P(0X1)0.043.P(0X0)，若X在(0,2内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4内取值的概率；(2)P(X4)【解】(1)由于XN(2，2)，对称轴x2，画出示意图如图因为P(0X2)P(2X4)，所以P(0X4)2P(04)1P(0c1)P(c1)P(c1)P(c1)，3cc1，c2.【答案】B2已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩XN(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内() 【导学号：62690049】A(90,110)B(95,125)C(100,120)D(105,115)【解析】P(100X120)P(11025X11025)95.4%，又95.4%6057.24%57%.故选C.【答案】C3已知正态分布N(，2)的密度曲线是f(x) ，xR.给出以下四个命题：对任意xR，f(x)f(x)成立；如果随机变量X服从N(，2)，且F(x)P(Xx)，那么F(x)是R上的增函数；如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；随机变量X服从N(，2)，P(X2)p，则P(0X2)12p.其中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)【解析】画出正态分布N(，2)的密度曲线如图：由图可得：图象关于x对称，故正确；随着x的增加，F(x)P(x)也随着增加，故正确；如果随机变量服从N(108,100)，那么的期望是108，标准差是10；由图象的对称性，可得正确故填.【答案】4从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图265(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求EX.附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.683，P(2Z2)0.954.【解】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.683.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683，依题意知XB(100,0.683)，所以EX1000.68368.3.
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