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1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式1认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式(重点、易混点)2理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程(重点难点)3能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明(难点)基础初探教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27P28，完成下列问题1定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立2柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式(a2b2)(d2c2)(acbd)2是柯西不等式()(2)(ab)(cd)()2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数()(3)在柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2中，a，b，c，d是任意实数()【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成()2，()2，()2，()2，所以是正确的，(3)正确【答案】(1)(2)(3)教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29P30“练习”以上部分，完成下列问题1定理2设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立2推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“”成立在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？【解】不可以若bi0而ai0，则k不存在质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用柯西不等式证明不等式(1)已知a2b21，x2y21，求证：|axby|1；(2)设a，b，c为正数，求证：(abc)【精彩点拨】本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识，考查推理论证能力及代数式的变式能力解答本题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将，增补，使其满足柯西不等式左边结构方可应用【自主解答】(1)|axby|1.(2)由柯西不等式得：ab，即ab.同理：bc，ac.将上面三个同向不等式相加得：()2(abc)，所以(abc)利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中a，b，c，dR或(ab)(cd)(r(ac)r(bd)2，其中a，b，c，d为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a1a)变形等.再练一题1设a，b，c为正数，求证：abc.【证明】由柯西不等式()2()2()2.于是(abc)(abc)2，即abc.运用柯西不等式求参数范围已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围. 【导学号：94910029】【精彩点拨】“恒成立”问题需求的最大值，设法应用柯西不等式求最值【自主解答】.故参数的取值范围是.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.再练一题2已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的取值范围【解】由柯西不等式得，(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3a)2，解得1a2，所以实数a的取值范围是1,2探究共研型利用柯西不等式求最值探究1柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2是如何证明的？【提示】要证(a2b2)(c2d2)(acbd)2，只要证a2c2b2c2a2d2b2d2a2c22abcdb2d2，即证b2c2a2d22abcd，只要证(bcad)20.因为上式显然成立，故(a2b2)(c2d2)(acbd)2.探究2根据柯西不等式，下列结论成立吗？(1)(ab)(cd)()2(a，b，c，d为非负实数)；(2)|acbd|(a，b，c，dR)；(3)|ac|bd|(a，b，c，dR)【提示】成立已知x22y23z2，求3x2yz的最小值【精彩点拨】利用x22y23z2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值【自主解答】(x22y23z2)(3x2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)12.23x2yz2，3x2yz的最小值为2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.再练一题3若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.当且仅当时“”成立，为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.构建体系1设x，yR，且2x3y13，则x2y2的最小值为()A. B169C13D0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C2已知a，b，c大于0，且abc1，则a2b2c2的最小值为()A1B4C.D【解析】根据柯西不等式，有(a2b2c2)(121212)(abc)21，a2b2c2.【答案】C3已知a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，则t的取值范围是()A(0,1)B(1,1)C(1,0)D1,1【解析】设(a，b，c)，(x，y，z)|1，|1，由|，得|t|1.t的取值范围是1,1【答案】D4已知x，y0，的最小值为4，则xy_. 【导学号：94910030】【解析】，24，又0，1，xy1.【答案】15已知3x22y26，求证：2xy.【证明】由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611.于是2xy.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知a，b为正数，且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()APQBPQCPQDPQ【解析】 设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n| ，所以(axby)2ax2by2.即PQ.【答案】A2已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A.BC.D【解析】2x23y2(2x23y2)(xy)2.【答案】B3已知x，y，z均大于0，且xyz1，则的最小值为()A24B30C36D48【解析】(xyz)36，36.【答案】C4设x，y，m，n0，且1，则uxy的最小值是()A()2BC.D(mn)2【解析】根据柯西不等式，得xy(xy)()2，当且仅当时，等号成立，这时u取最小值为()2.【答案】A5函数y2的最大值是()A.BC3D5【解析】根据柯西不等式，知y12.【答案】B二、填空题6函数y的最大值为_【解析】由，非负且()2()23，所以 .【答案】7设x，y为正数，且x2y8，则的最小值为_. 【导学号：94910031】【解析】(x2y)()2()225，又x2y8，.【答案】8设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则_.【解析】由柯西不等式，得2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2302.当且仅当k时取“”，由k2(x2y2z2)22536，解得k，所以k.【答案】三、解答题9已知实数x，y，z满足x2yz1，求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.当且仅当x2yz，即x，y，z时等号成立故x24y2z2的最小值为.10已知为锐角，a，b均为正数求证：(ab)2.【证明】设m，n(cos ，sin )，则|ab|mn|m|n| ，(ab)2.能力提升1已知x，y为正数，且xy1，则的最小值为()A4B2C1D【解析】224.【答案】A2设a1，a2，an为正数，P，Q，则P，Q间的大小关系为()APQBPQCPQDPQ【解析】(a1a2an)n2，.即PQ.【答案】B3已知函数y34，则函数的定义域为_，最大值为_【解析】函数的定义域为5,6，且y0，y345，当且仅当34，即x时取等号ymax5.【答案】5,654ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2b2c2)36R2.【证明】由三角形中的正弦定理得：sin A，所以，同理，于是由柯西不等式可得左边(a2b2c2)236R2，所以原不等式得证
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